Question

高中数学恒成立问题

已知函数f(x)=x^3-4x+3。若对任意的x1∈【0，3】，存在x2∈【0，3】，使得不等式f(x1)≤ (t^2)x2-12t+3恒成立，求实数t的取值范围。
(t^2)x2是t的平方 乘以 X2，谢谢！

Answer 1

设f'(x)=3x^2-4=0 x=±2√3/3
这里只考虑[0,3]，故看x=2√3/3
当x<2√3/3时，f'(x)<0 f(x)递减
当x>2√3/3时，f'(x)>0 f(x)递增
即f(2√3/3)为最小值，f(0)=3，f(3)=18
所以f(3)为最大值
故f(x1)≤ (t^2)x2-12t+3恒成立
只要 (t^2)x2-12t+3≥18
此时x2≥(12t+15)/t^2恒成立
已知x2∈【0，3】， 则0≥(12t+15)/t^2
12t+15≤0
t≤-5/4
即为所求。

Answer 2

f（x）求导，在【0,3】上f（x）只有一个零点x0，必是最值，f（x）先增后减，f（x0）是最大值。只要f（x0）满足不等式，则在[0,3]上不等式恒成立
f'(x)=3x^2-4=0 x=±2√3/3
这里只考虑[0,3]，故看x=2√3/3
当x<2√3/3时，f'(x)<0 f(x)递减
当x>2√3/3时，f'(x)>0 f(x)递增
即f(2√3/3)为最小值，f(0)=3，f(3)=18
所以f(3)为最大值
故f(x1)≤ (t^2)x2-12t+3恒成立
只要 (t^2)x2-12t+3≥18
此时x2≥(12t+15)/t^2恒成立
已知x2∈【0，3】， 则0≥(12t+15)/t^2
12t+15≤0
t≤-5/4
即为所求。

Answer 3

f'(x)=3x^2-4
令f'(x)>0
3x^-4>0
x^2>4/3
x>(4/3)^(1/2)或x<-(4/3)^(1/2)
因为x属于【0,3】
f(x)在[0, (4/3)^(1/2)]递增 在[(4/3)^(1/2),3]递减
f(0)=3 f(3)=18
f(x)max=18
要使得不等式f(x)≤ (t^2)x2-12t+3恒成立
18≤(t^2)x2-12t+3
23/2≤(t-3)^2
所以t.大于等于（23/2)^(1/2)+3或小于等于-（23/2)^(1/2)+3

Answer 4

数学符号不会用啊
指导直到你不介意吧
对于这个题，求出x1∈【0，3】中的f（x1）的最大值，再求出(t^2)x2-12t+3的最小值，最终求出实数t的取值范围

Answer 5

题没问题吗？x2是干嘛的？
对f（x）求导，在【0,3】上f（x）只有一个零点x0，必是最值，f（x）先增后减，f（x0）是最大值。只要f（x0）满足不等式，则在[0,3]上不等式恒成立

追问

(t^2)*x2这样清楚了吗？是t的平方 乘以 X2，谢谢！

追答

哦，清楚了。