Question

一道圆锥曲线难题紧急求助！！

已知椭圆x^2/4+y^2=1的左、右两个顶点分别为A、B，直线x=t(-2<t<2)与椭圆相交于M、N两点，经过三点A,M,N的圆与经过三点B,M,N的圆分别记为圆C1与圆C2。 1.求证：无论如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值。 2.当t变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值。

Answer 1

1.
A(-2,0),B(2,0)
t²/4+y²=1
y²=(1-t²/4)
M(t,√(1-t²/4)),N(t,-√(1-t²/4))
R1²=(t+2)²+1-t²/4
R2²=(t-2)²+1-t²/4
由题意知两圆心的圆心距离为两圆分别到直线直线x=t的距离之和
即|C1C2|=√[R1²-(1-t²/4)²]+√[R2²-(1-t²/4)]
=|t+2|+|2-t|=t+2+2-t=4

2.
S=S1+S2=π[(t+2)²+1-t²/4+(t-2)²+1-t²/4]
=π(3t²/2+10)
0=<t²<2
所以S最小=10π