Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，ab=6，AC=8，D,E分别是AB,AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动。

如图，在RT△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D、E分别是AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动。过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR‖BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动。设BQ=x，QR=y。（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵∠A=Rt∠，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵点D为AB中点，∴BD= 12AB=3．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴ DHAC= BDBC，
∴DH= BDBC•AC= 310×8= 125
（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90度．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴ RQAB= QCBC，∴ y6= 10-x10，
即y关于x的函数关系式为：y= -35x+6．
（3）存在，分三种情况：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC= 810= 45，∴ QMQP= 45，
∴ 12(-35x+6)125= 45，∴x= 185．
②当PQ=RQ时，- 35x+6= 125，
∴x=6．
③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，
于是点R为EC的中点，
∴CR= 12CE= 14AC=2．
∵tanC= QRCR= BACA，
∴ -35x+62= 68，
∴x= 152．
综上所述，当x为 185或6或 152时，△PQR为等腰三角形．

Answer 2

答：（1）因：RT三角形DBH中，角H是直角，DB= 6/2 = 3; BH：HD：BD = 3：4：5
故：DH = 4*（3/5) = 2.4 ;
（2）设 QB = X，作QS垂直于AB，并交AB于S点。QR = Y = 6 - BS， 而 BS = 3*（x/5)
故：Y = 6 - 3X/5, 即： 5Y = 30 - 3X ;
（3）过 H 作BA的平行线HT，交AC于T点， 过D作HT的垂直线交HT于K点，
在三角形DHK中，角K是直角， HK = 4*（DK/5）= 4*2.4/5 = 1.92,
当HT = 2（HK）= 2*1.92 = 3.84 时，三角形PHT为等腰三角形，
故：当 X = （30 - 5*3.84)/3 = 10.8 /3 = 3.6 时△PQR为等腰三角形。

Answer 3

解：（1）∵∠A=Rt∠，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵点D为AB中点，∴BD= AB=3．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴ DH/AC=BD/BC ，
∴DH=BD/BC •AC= 3/10×8=12/5

（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90度．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴RQ/AB =QC/BC ，∴ y/6=10-x/10 ，
即y关于x的函数关系式为：y= -3/5x+6．

（3）存在，分三种情况：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=8/10 = 4/5，∴ QM/QP=4/5 ，
∴ 1/2（-3/5 x+6）/12/5= 4/5，∴x= 18/5．
②当PQ=RQ时，- 3/5 x+6=12/5 ，
∴x=6．
③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，
于是点R为EC的中点，
∴CR= CE= AC=2．
∵tanC=QR/CR = BA/CA，
∴ （-3/5 x+6）/2=6/8 ，
∴x=15/2 ．
综上所述，当x为 18/5或6或15/2 时，△PQR为等腰三角形．
∠1为∠PQR，∠2为∠RQC

Answer 4

例3、如图，在Rt△ABC中，∠A=90埃?SPAN>AB=6，AC=8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR‖BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 5

解：（1），，，．

点为中点，．

，．

，

，

．

（2），．

，，

，，

即关于的函数关系式为：．

（3）存在，分三种情况：

①当时，过点作于，则．

，，

．

，，

，．

②当时，，

．

③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，

．

，

，．

综上所述，当为或6或时，为等腰三角形