Question

线性代数的证明题，帮帮忙吧！！谢谢

设向量β可由向量组α1，α2，…αS，线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）α1，α2，…αS-1线性表示。记向量组（Ⅱ）α1，α2，…αS-1，β，试证向量αS不能由（Ⅰ）线性表示，但可以由（Ⅱ）线性表示

Answer 1

若向量αS能由（Ⅰ）线性表示则由向量β可由向量组α1，α2，…αS，线性表示可知向量β可由向量组α1，α2，…αS-1线性表示与条件矛盾。
由此还可以知道假设β=∑tiαi,i从1到s,则ts不等0.
于是可知αS可以由（Ⅱ）线性表示。

Answer 2

设（α1,α2...αs,β）为向量组（Ⅲ），（α1,α2...αs）为向量组（Ⅳ）。
设秩（ Ⅰ）＝n，有秩（Ⅱ）＝n＋1
n＋2≧秩（Ⅲ）≧秩（Ⅱ），且n＋1≧秩（Ⅳ）＝秩（Ⅲ）
即有秩（Ⅲ）＝n＋1＝秩（Ⅳ）＝秩（Ⅱ）
（Ⅱ）可由（Ⅲ）线性表出，且二者等秩，即二者等价，αs可由（Ⅱ）表出
秩（Ⅳ）＝秩（ Ⅰ）＋1,（Ⅳ）中前s－1项与（ Ⅰ）相同，秩为n，加上第s项αs后秩为n＋1，则αs不能由（Ⅳ）中前s－1项表出，即不能由（ Ⅰ）表出。

Answer 3

证: (1)反证.
假如αs能由α1，α2，…αs-1线性表示
由已知β可由向量组α1，α2，…αs线性表示
所以 β可由向量组α1，α2，…αs-1线性表示
这与β不能由向量组α1，α2，…αs-1线性表示矛盾.
所以αs不能由α1，α2，…αs-1线性表示.

(2)由已知β可由向量组α1，α2，…αs线性表示, 即有
β=k1α1+k2α2+…+ksαs.
再由已知β不能由向量组α1，α2，…αs-1线性表示
所以 ks≠0.
所以有 αs = β/ks-k1/ksα1-k2/ksα2-…-ks-1/ksαs-1
即αs可由α1，α2，…αs-1，β线性表示#

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