Question

已知函数f(x)=x^2-(2a+1)x+alnx（a＞0）。

（1）求函数f（x）的单调区间
（2）若函数f（x）在[1，2]上总存在x1，x2，使得（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]＞0成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(1).

f(x)=x²-(2a+1)x+alnx
f'(x)=2x-(2a+1)+a/x

f'(x)=2x-(2a+1)+a/x=0
2x²-(2a+1)x+a=0
(2x-1)(x-a)=0
拐点：x=1/2、x=a

当0＜a＜1/2时：
x∈(0，a)时，f'(x)＞0；x∈(a，1/2)时，f'(x)＜0；x∈(1/2，+∞)时，f'(x)＞0
f(x)的单调区间：(0，a)单调递增，(a，1/2)单调递减，(1/2，+∞)单调递增

当a=1/2时：
f'(x)=2x-(2a+1)+a/x=2x-2+1/2x≥2√[2x•(1/2x)]-2=0
x∈(0，+∞)时，f'(x)≥0
f(x)的单调区间：(0，+∞)单调递增

当a＞1/2时：
x∈(0，1/2)时，f'(x)＞0；x∈(1/2，a)时，f'(x)＜0；x∈(a，+∞)时，f'(x)＞0
f(x)的单调区间：(0，1/2)单调递增，(1/2，a)单调递减，(a，+∞)单调递增

(2).

x∈[1，2]时，(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]＞0
则x1-x2＞0，且f(x1)-f(x2)＞0；或则x1-x2＜0，且f(x1)-f(x2)＜0。即f(x)在[1，2]上单调递增

当0＜a＜1/2时：
f(x)在(1/2，+∞)上单调递增，符合题意

当a=1/2时：
f(x)在(0，+∞)上单调递增，符合题意

当a＞1/2时：
当a≥1时，f(x)在[1，+∞)上单调递增，符合题意

综上，a的取值范围是：(0，1/2]∪[1，+∞]

Answer 2

我高一 错了别怪
f'(x)=2x-2a-1+a/x=0
x={2a+1±根号（（2a-1）²）}/4 二次项＞0
a＞1/2 (-无穷，1/2)（a，+无穷）递增（1/2,a)递减
0＜a≤1/2 (-无穷，a)（1/2，+无穷）递增(a,1/2)递减
（2）1,2上单调 a≥2或0＜a≤1成立