Question

若函数y=f(x)的值域是[1/2,3],则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是

Answer 1

1/2<f(x)<3 所以 1/3<1/f(x)<2------错误思路 ！！ 此时不要被迷惑认为F(x)最小是1/2+1/3最大是5+3，因为y=f(x)的单调性不知道如果X是在R上单调递增或递减那么答案是一目了然的,你懂得！就是上面说的2个和。 所以此题要按求导的解法来解~~！ 令f(x)=t 即求函数g(t)=t+1/t 在1/2到3上的极值问题。 给你思路了我打不出来那些符号，然后你求导g(t)就行了，导出后应该是个二次函数所以g(t)肯定不是单调的然后在求出在定义域内的极值（就是令导函数=0的取值）然后在和t=1/2 和 t=3是比较大小 就求出了~！！自己操作下就会了这种题 普遍性很强 高考必考~！~不懂继续问~~！

Answer 2

F(x)的值域相当于求函数y=x＋1/x在定义域[1/2，3]上的值域。函数y=x＋1/x在[1/2，1]上递减，在[1/2，3)上递增，则其最小值是F(1)=2，F(1/2)=5/2，F(3)=10/3，则F(x)的最大值是10/3，所以此函数的值域是[2，10/3]。

Answer 3

此函数在0到1区间上单调递减，在1到正无穷上单调递增，因而最小值在x=1是取得，即最小值为2；而在x=0.5是，函数等于2.5，在x=3时，函数值等于3+1/3,因而，函数值域为2到3+1/3;

此类型题目为复合函数，可以把f(x)看成一个整体，作为自变量，即y,这样在搞清楚F(x)=y+1/y的单调性即可，很简单！

Answer 4

z(x)=f(x)+1/f(x)
把 f(x)=t
z=t+1/t,t∈[1/3,2]
依你的意思用另一种方法（均值不等式此时解题占优势）
②:z'=1-1/t²
z'=0↔t=1(t=-1舍去，不符合)
那么因为1/3<x<1时,z'<0,z↓,1<x<2,z'>0,z↑
那么最小值在t=f(x)=1时取得zmin=2
比较t=1/3和t=2时z的取值可知道
最大值是在t=1/3时取得zmax=10/3