Question

已知数列a1=2，an+1=an+[1/n(n+2)]

求｛an｝的通项公式（过程详细一点，谢谢啦~）

Answer 1

a(n＋1)－an=(1/2)[1/n－1/(n＋2)]，则：
a2－a1=(1/2)[1/1－1/3]
a3－a2=(1/2)[1/2－1/4]
a4－a2=(1/2)[1/3－1/5]
……
an－a(n－1)=(1/2)[1/(n－1)－1/(n＋1)]
全部相加，得：
an－a1=(1/2)[1＋1/2－1/n－1/(n＋1)]
所以，an=2＋(1/2)[3/2－(2n＋1)/(n²＋n)]

Answer 2

因为a(n+1)=an+1/n(n+2)
所以a(n+1)-an=1/n(n+2)=(1/2)*[1/n-1/(n+2)]

下面利用叠加法求an

a2-a1=(1/2)*(1/1-1/3)
a3-a2=(1/2)*(1/2-1/4)
a4-a3=(1/2)*(1/3-1/5)
a5-a4=(1/2)*(1/4-1/6)
.....
a(n-1)-a(n-2)=(1/2)*[1/(n-2)-1/n]
an-a(n-1)=(1/2)*[1/(n-1)-1/(n+1)]

叠加得
an-a1=(1/2)*[1+1/2-1/n-1/(n+1)]=(3n^2-n-2)/[4n(n+1)]

所以an=(3n^2-n-2)/[4n(n+1)]+2=(11n^2+7n-2)/(4n^2+4n)

Answer 3

1/n(n+2)=0.5/n-0.5/(n+2)
所以
a2-a1=0.5/1-0.5/3
a3-a2=0.5/2-0.5/4
.....
an-a(n-1)=0.5/n-0.5/(n+2)
各项相加：an-a1=0.5/1+0.5/2-0.5/(n+1)-0.5/(n+2)
an=2+0.5/1+0.5/2-0.5/(n+1)-0.5/(n+2)
=2.75-0.5/(n+1)-0.5/(n+2)

Answer 4

an -a(n-1) = 1/(n-1)(n+1)= [1/(n-1) - 1/(n+1)]/2
.....
a4-a3=[1/3 - 1/5]/2
a3-a2=[1/2 -1/4]/2
a2-a1=[1-1/3]/2
两边叠加，得
an -a1 =[1+1/2 -1/n - 1/(n+1)]/2
所以 an=2+[3/2-1/n -1/(n+1)]/2