Question

推理与证明

1 已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd>1，求证a，b，c，d中至少有一个负数。
2 已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.写出a1，a2，a3，并推测an的表达式

Answer 1

2、a1+a1=2*1+1=3
a1=3/2
a1+a2+a2=5
a2=7/4
a1+a2+a3+a3=7
a3=15/8
设Ak=2-1/2^k
Sk=2k-1+1/2^k
Sk+1+Ak+1=2(k+1)+1
Sk+2*Ak+1=2k+3
2k-1+1/2^k+2*Ak+1=2k+3
2*Ak+1=4-1/2^k
Ak+1=2-1/2^(k+1)
得证An=2-1/2^n

1、ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=1+2ac-a-c>1
假设a 、c >0
ac>(a+c)/2>=√ac
√ac>1
ac>1
a c 至少一个大于1
b d 至少一个小于0
得证

Answer 2

1. 证明： 若4数全为非负，先看4数全为正的情况，
由 a+b=c+d=1 得 a=1-b，c=1-d，于是
ac+bd=(1-b)(1-d)+bd=1-(b+d)+2bd>1
=> bd>(b+d)/2 >=√bd (均值不等式)
于是得 √bd >1 ,(b+d)/2 >=√bd>1 =>(b+d)>2,
同样 由对称性，又得(a+c)>2, 因此a+c+b+d>4, 这与已知 a+b=c+d=1 矛盾，故4数不可能全正
再看4数有0的情况，不失一般性，设a=0 ，于是 b=1,
得 ac+bd=0*c+1*d=d>1 ，于是由c+d=1 => c=1-d <0。
也就是说 若4数有0，必得出有一数为负。综上，原命题成立。
2. Sn+an=2n+1,
故S1+a1=a1+a1=2*1+1 =3 , a1=3/2，S1=3/2
a2=S2-a1= 2*2+1-a2-a1 ,a2=(5-a1)/2=7/4, S2=13/4
a3=S3-S2=2*3+1-a3- 13/4, a3=(7-13/4)/2=15/8
推测 an=(2^(n+1)-1)/2^n