Question

在△ABC中，已知向量AB×向量AC=2，sin△ABC=2 若sinB=2cosAsinC，求BC的长

Answer 1

请问 sin△ABC=2是什么？ 是三角形的面积为2吧。下面三角形面积为2计算，如果不是三角形的面积，就不用看了。
设三角形ABC的边分别为a、b、c；则
向量AB×向量AC=2 ；得b*c*cosA=2 ,得cosA=2/(b*c) -----------(1)
又 sin△ABC=2, 即 了(1/2)*b*c*sinA=2 ------------------- (2)
sinB=2cosA*sinC ------------------------- (3)
由正弦定理：b/sinB= c/sinC=2R (2R为三角形ABC的外接圆的直径）
得到 sinB= b/2R, sinC= c/2R ------------------- (4)
把（1）式，（4）式代入（3）式，得b=2.
代入（1）式得，cosA=1/c, 代入(2)式得， sinA=2/c；
又sin^2A+COS^2A=1( 同角三角函数关系）
得：（2/c）^2+ (1/c)^2=1 得c=根号5
由余弦定理得 BC^2= b^2+c^2 - 2bccosA
上面计算的各量代入就得到。（符号不好写，请你自己计算吧）
BC=根号5 （计算比较复杂，参考这个请你再做其它方法）

Answer 2

向量AB*向量AC=2，S△ABC=2 .
cbcosA=2
cbsinA/2=2
所以tanA=2, sinA=2/根号5， cosA=1/根号5
又sinB=2cosAsinC，
得b=2c*cosA=2c/根号5
bc=2*根号5
b=2,c=根号5.
a^2 =b^2 +c^2 -2bccosA= 5
a=根号5

追问

sinA=2/根号5， cosA=1/根号5
怎么得出来的？
谢谢

追答

tanA=sinA/cosA
(sinA)^2 +(cosA)^2 =1