Question

求微分方程 解微分方程 y'' +y=cosxcos2x

同济教材没有复数法， 第八节 非其次线性微分方程 后面就是欧拉公式不要求掌握的
复数法是什么

Answer 1

这是二阶常系数线性非齐次常微分方程。
先写出对应的齐次方程y'' +y=0的通解(利用特征方程法)：
y=c1*Cos(x)+c2*Sin(x)，其中c1,c2为任意常数。
再求出非齐次方程的一个特解：
y'' +y=cosxcos2x =Cos(3x)+Cos(x) (积化和差)
利用复数法可以很快写出一个特解：
yp=(-1/8)*Cos(3x)-(1/2)*x*Sin(x)
由线性叠加原理可知：
原方程的通解为：y+yp=c1*Cos(x)+c2*Sin(x)-(1/8)*Cos(3x)-(1/2)*x*Sin(x)。
这里只是给出主要步骤，至于原理还要自己去看微分方程的教材。