Question

设a，b，c，d都是整数，且m=a²+b²，n=c²+d²，求证：mn也可以表示为两个整数的平方和

Answer 1

mn=(a²+b²)(c²+d²)，计算之后得：mn=a²(c²+d²)+b²(c²+d²)。
因为a,b,c,d都是整数，所以a²、b²、c²、d²也是整数。
整数的和同样为整数。所以c²+d²为整数。
整数的积同样为整数，所以a²(c²+d²）、b²(c²+d²)同样为整数。
所以mn可以表示为两个整数的平方和。

Answer 2

mn=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2+a^2d^2
=a^2c^2+b^2d^2+2acbd+b^2c^2+a^2d^2-2bcad
=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2