Question

求助！！数学题~~~

要造一个容积为V的圆柱形容器（无盖），问底半径和高分别为多少是所用材料最省？
是高等数学的内容，是“导数的应用”这章的课后练习题

Answer 1

当R=H时所用材料最省。

设体积为V

设半径为R

设高为H  H=V/S底

设底圆面积S底 S底=Pi*R*R

设圆柱面积S柱 S柱=2*Pi*R*H

设总用面积S总 S总=S底+S柱

(请看参考数据的图片。)

设V=3.141592654(仅为方便计算)

设V=10

如有不请设发消息到我百度号!

追问

你解的题跟导数和微积分有啥关系？？

Answer 2

设底面半径r,高h，则V=πr²h，h=V/πr²
所用材料面积为S=πr²+2πrh=πr²+2V/r(r>0)
导数S’=2πr-2V/r²=0，r=(V/π)^(1/3)
当r=(V/π)^(1/3), h=(V/π)^(1/3) 时，用材料最省S=(πV²)^(1/3)+2(πV²)^(1/3)=3(πV²)^(1/3)

或者用不等式，对于整数a,b,c, a³+b³+c³≥3abc(当且仅当a=b=c时等号成立)
S=πr²+V/r +V/r ≥ 3(πr²·V/r·V/r)^(1/3) = 3(πV²)^(1/3)
当且仅当πr²=V/r，即r=(V/π)^(1/3)时，等号成立。S取最小值，即所用材料最省。

(a³+b³+c³)/3≥abc (算术平均值不小于几何平均值)

Answer 3

应该是圆锥形的容器吧 最省材料应该是：圆锥 沿着 高的切面那个 三角形是一个等边三角形 就行了

追问

是圆柱形

Answer 4

V=pi*r^2*h
S=pi*r^2+2*pi*r*h
=pi*r^2+2*V/r
=pi*r^2+V/r+V/r
>=3*(三次根号下)(pi*V*V) ,当且仅当，r=h=（三次根号下）(V/pi)成立

追问

pi？？什么东西？不是复数符号那个i吧？

追答

pi就是π，简便打法而已

Answer 5

r=1/2h