Question

一道初二下半学期数学题，应该不算非常难，帮帮忙，谢谢。在线等，急急急急急急急急！

已知点A、B分别是X轴、Y轴上的动点，点C、D是反比例函数Y=K/X（K＞0）图像上的点，其中点D(3，M）（M＜3），四边形ABCD（ABCD各点依次排列）能否刚好为一个正方形？若可以，求出m的值及反比例函数解析式，若不可以，请说明理由。
图片的话，就是一张普通的Y=K/X（K＞0）的双曲线图，过一三象限的。（见谅，我不会发图片，谢谢。）

Answer 1

此题较为新颖，特别要注意审题和分析题意，耐心把题读完，知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点：（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密性．
（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．
（3）注意思维的严密性，抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论．解答：解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，正方形ABCD的边长为 2；
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
设正方形的边长为a，
易得3a= 2．
解得a= 23，所以正方形边长为 132．
（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2-m，2），
∴2m=2（2-m）解得m=1．
反比例函数的解析式为y= 2x．
（3）∵二次函数y=ax2+c它的图象的伴侣正方形为ABCD，
∴C、D中的一个点坐标为（3，4）代入得：
（-1，3）；（7，-3）；（-4，7）；（4，1）．
对应的抛物线分别为：y= 18x2+ 238；y=- 740x2+22340；y= 37x2+ 17；y=- 37x2+ 557．
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，时成对出现的，
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．点评：此题是一道新定义题，题比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解．

追问

我们没学过抛物线，这题应该也不是用伴侣正方形，注意D(3，M)

Answer 2

解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，正方形ABCD的边长为 2；
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
设正方形的边长为a，
易得3a= 2．
解得a= 23，所以正方形边长为 132．
（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2-m，2），
∴2m=2（2-m）解得m=1．
反比例函数的解析式为y= 2x．
（3）∵二次函数y=ax2+c它的图象的伴侣正方形为ABCD，
∴C、D中的一个点坐标为（3，4）代入得：
（-1，3）；（7，-3）；（-4，7）；（4，1）．
对应的抛物线分别为：y= 18x2+ 238；y=- 740x2+22340；y= 37x2+ 17；y=- 37x2+ 557．
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，时成对出现的，
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．点评：此题是一道新定义题，题比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解．

Answer 3

解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，正方形ABCD的边长为 2；
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
设正方形的边长为a，
易得3a= 2．
解得a= 23，所以正方形边长为 132．
（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2-m，2），
∴2m=2（2-m）解得m=1．
反比例函数的解析式为y= 2x．
（3）∵二次函数y=ax2+c它的图象的伴侣正方形为ABCD，
∴C、D中的一个点坐标为（3，4）代入得：
（-1，3）；（7，-3）；（-4，7）；（4，1）．
对应的抛物线分别为：y= 18x2+ 238；y=- 740x2+22340；y= 37x2+ 17；y=- 37x2+ 557．
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，时成对出现的，
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．点评：此题是一道新定义题，题比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解．