Question

解答数学题

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在非零常数T，对任意x属于R，有f（x+T)=Tf（x）成立
函数f（x）=x是否属于集合M说明理由

Answer 1

．⑴对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx． 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，∴f(x)=

⑵因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组： 有解，消去y得ax=x,

显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T．

于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M．

⑶当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M．

当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有

f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx ．

因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，

故要使sin(kx+kT)=Tsinkx ．成立，

只有T= ，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z ．

当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，

则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1)π, m∈Z ．

综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}。

Answer 2

不属于，
若f(x)=x
那么x+T=Tx对于任意x均成立
令x=0得T=0
而要求T为非零常数，所以不存在这样的T

Answer 3

不属于

反证法，
假设f（x）=x属于集合M，则存在一个非零常数T使得 f(x+T)=T*f(x)
所以 x+T=Tx
因为对任意x成立
取x=0
则 T=0
与题设非零常数T矛盾
所以 不属于

Answer 4

好难啊

Answer 5

好难