Question

已知0<α,β<π/2,且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求证α=β=π/3

Answer 1

cosα+cosβ-cos(α+β)=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]-2cos^2[(α+β)/2]+1
=2cos[(α+β)/2]{cos[(α-β)/2]-cos[(α+β/2])}+1
又因为cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2.所以
2cos[(α+β)/2]{cos[(α-β)/2]-cos[(α+β/2])}+1=3/2
假设cos[(α+β)/2]=x，cos[(α-β)/2]=y
就有 2x(y-x)=1/2 ----->y=(4x^2+1)/4x
已知α，β为锐角,cos[(α+β)/2]=x，cos[(α-β)/2]=y
所以 0<x<1,0<y<=1
所以 0<y=(4x^2+1)/4x<=1
(4x^2+1)/4x<=1 有且只有一个解当x=1/2时y=1
cos[(α+β)/2]=x，cos[(α-β)/2]=y
所以 (α+β)/2=π/3 ，(α-β)/2=0
所以 α=β=π/3

2cos(a+b)/2*cos(a-b)/2-2(cos(a+b)/2)^2-1/2=0

(cos(a+b)/2)^2-cos(a+b)/2*cos(a-b)/2+1/4=0

[cos(a+b)/2-1/2*cos(a-b)/2]^2+[1-(cos(a-b)/2)^2]/4=0

(cos(a-b)/2)^2=1,cos(a+b)/2=1/2*cos(a-b)/2

a=b=π／3