Question

已知，在四边形ABCD中，AD‖BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，

如图1，AB=AC=BC，则AE与AF之间的数量关系是什么？
如图2.AB=BC，1中结论是否发生变化？请证明。

Answer 1

(1)△ABC中，AB=BC=AC，所以△ABC为正三角形，
所以∠B=∠BAC=∠ACB=60
因为∠BAC=∠D，且∠DCB+∠D=180，所以∠DCB+∠B=180，所以AB//CD。
所以∠ACD=∠CAB=60。
因为∠AEF=∠ACD，所以∠AEF=60.
设AC和EF交于O,
△AOE和△FOC中，∠AEO=∠FCO, ∠AOE=∠FOC，
所以△AOE∽△FOC。
所以AO/OC=FO/OE
在△AOF和△EOC中，AO/OC=FO/EO,且∠AOF=∠EOC，
所以△AOF∽△EOC。所以∠AFO=∠ECO
（或通过A,E,C,F四点共圆，证明两角相等）
因为∠OCE=60，所以∠AFO=60
△AEF中，∠AEF=∠AFE=60，所以△AEF为正三角形，所以AE=EF。
(2)同题（1）中证明，∠AFE=∠ACB （1）
因为AD//BC，所以∠D+∠ACD+∠ACB=180
△AEF中，∠EAF+∠AEF+∠AFE=180
已证明∠AFE=∠ACB，又因为已知∠AEF=∠ACD
所以，∠FAE=∠D
因为∠D=∠CAB，所以∠BAC=∠FAE （2）
因为AB=BC，所以∠BCA=∠BAC，
因为（1）（2），所以∠EAF=∠AFE
所以AE=EF。

追问

喂喂能用初二的知识解决么。。。

追答

不好意思，初二有点久远了，不知道你们学到哪里了。解法中主要用到的是正三角形性质、平行线和相似三角形。
初二没有学到四点共圆的话，忽略那句话吧。其实证明的过程没有用到圆的知识，写出来的步骤是用相似三角形的。初二没有学相似三角形吗？哪步没看懂呢？

追问

初二不学相似三角形，用平行四边形 平行线 和三角形全等比较好

追答

这道题只用全等三角形的知识的话我还没有想出来，不过可以证一下相似三角形的性质。
延长EF到M，使OM=OA，过M作MN//FC交AC于N
因为MN//FC，所以∠OCF=∠ONM
因为∠AEO=∠FCO，所以∠AEO=∠MNO
又因为∠AOE=∠MON，AO=MO
所以△AOE≌△MON，所以OE=ON
因为MN//FC，所以MO/FO=NO/CO
因为OE=ON，OA=OM
所以AO/FO=OE/OC
之前的比写得好像有点问题，不过不影响结论。这个是对的。
同样的方法再证∠AFE=∠ACB。有点麻烦，但想不到只用全等怎么证。