Question

是否存在实数m,使得椭圆x^2/4+y^2/3=1上有不同两点关于直线y=4x+m对称

Answer 1

椭圆的方程是x^2/4+y^2/3=1，即3x^2+4y^2=12
设椭圆上两点A(x1,y1)，B(x2,y2) 关于直线y=4x+m对称，AB中点为M(x0,y0)。则
x1^2+4y1^2=12 ，3x2^2+4y2^2=12
相减得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，即 3*2x0*(x1-x2)+4*2y0*(y1-y2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-3x0/4y0=-1/4
所以y0=3x0
代入直线方程y=4x+m，得x0=-m，y0=-3m
因为(x0,y0)在椭圆内部。则3m^2+4(-3m)^2<12。解得 -2√13/13<m<2√13/13

Answer 2

解:
设与直线y=4x+m垂直的弦为y=-1/4*x+b,则
{x^2/4+y^2/3=1,y=-1/4*x+b}
--->13x^2-8bx+16(b^2-3)=0
设弦端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则依韦达定理得
x1+x2=8b/13.
设弦AB中点为M(x,y),则
{x=(x1+x2)/2=4b/13,y=-1/4*4b/13+b=12b/13}
--->M(4b/13,12b/13)
若椭圆上存在关于y=4x+m对称的两个不同的点,则
{12b/13=4*4b/13+m,64b^2-4*13*16(b^2-3)>0}
--->{b=-13m/4,b^2<13/4}
--->m^2<4/13
故:
-(2根13)/13<m<(2根13)/13.