Question

如图,点O是△ABC中一点,OB=OC,∠AOB=∠AOC,试说明AO的延长线与BC垂直

。

Answer 1

证明：延长AO交BC于P
在△AOB和△AOC中
AO=AO（公共边）
∠AOB=∠AOC（已知）
OB=OC（已知）
所以△AOB≌△AOC（SAS）
因此AB=AC（全等三角形对应边相等）∠BAO=∠CAO（全等三角形对应角相等）
在△BAP和△CAP中
AB=AC（已证）
∠BAP=∠CAP（已证）
AP=AP（公共边）
所以△BAP≌△CAP（SAS）
因此∠APB=∠APC（全等三角形对应角相等）
又因为∠APB+∠APC=180（平角定义）
所以2∠APB=180（等量代换），∠APB=90
因此AO⊥BC

Answer 2

延长AO交BC于P
在△AOB和△AOC中
AO=AO（公共边）
∠AOB=∠AOC（已知）
OB=OC（已知）
所以△AOB≌△AOC（SAS）
因此AB=AC（全等三角形对应边相等）∠BAO=∠CAO（全等三角形对应角相等）
在△BAP和△CAP中
AB=AC（已证）
∠BAP=∠CAP（已证）
AP=AP（公共边）
所以△BAP≌△CAP（SAS）
因此∠APB=∠APC（全等三角形对应角相等）
∠APB=90
因此AO⊥BC

Answer 3

先证明2个三角形全等（△AOB=△AOC），设AO的延长线与BC交与D，则△ADB=△ADC，即垂直

Answer 4

延长AO到BC交BC于D
因为角AOB=角AOC
所以角BOD=角COD
因为OB=OC,OD=OD
所以三角形BOD全等于三角形COD(SAS)
所以角BDO=角CDO=90度
所以AD垂直BC即AO的延长线垂直BC