Question

二面角问题 在二面角α-ι-β外有一点P，P到α，β的距离分别为1,2，二面角为120°，求P到棱ι的距离。

在二面角α-ι-β外有一点P，P到α，β的距离分别为1,2，二面角为120°，求P到棱ι的距离。

Answer 1

如图，过点P的两条垂线是PA、PB，过PA、PB所确定的平面与平面α、β都垂直，与棱L的交点为Q，则∠AQB=60°(P在二面角外)，且P、A、Q、B四点共圆，点P到棱L的距离就是这个圆的直径。在三角形PAB中，∠P=120°，由余弦定理，得AB=√7，则2R=AB/sin∠P=2√21/3，此即为点P到棱L的距离。

追问

“则∠AQB=60°(P在二面角外)，且P、A、Q、B四点共圆，点P到棱L的距离就是这个圆的直径。”
为什么P,A,Q,B四点共圆，点P到棱L的距离就是这个圆的直径？

追答

点P到平面α的距离就是PA，点P到平面β的距离就是PB，则∠PAO=∠PBO=90°，即四边形PAOB的对角互补，从而P、A、Q、B四点共圆。又L垂直平面PAOB(理由：L⊥PA，L⊥PB)，所以就有PO垂直L，即PO就是点P到L的距离，而PO就是这四点共圆的圆的直径(理由：∠PAO=∠PBO是直角)。

Answer 2

答案就是2，就是P到β的距离