Question

如图，在梯形ABCD中AD‖BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm

点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD与Q，连结PE。若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）。解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE‖AB？
（2）设△PEQ的面积为y（平方厘米），求y与t之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=2/25 S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。
（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由。

Answer 1

1.
ED=t
DP=BD-t=10-t
ED/AD=DP/BD
t/6=(10-t)/10
60-6t=10t
t=60/16=15/4s
∴当t=15/4，PE‖AB

2
∵EF平行且等于CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴∠DEQ=∠C=∠DQE=∠BDC．
∴△DEQ∽△BCD．

∴DE/BC=EQ/CD
t/10=EQ/4
EQ=2t/5

过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，
BM=根号（10^2-2^2）=4根号6

∵ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
又△PNQ∽△BMD，
PQ/BD=PN/BM
10-2t/10=PN/4根号6
PN=4根号6(1-t/5)
∴S△PEQ= EQ•PN= 1/2*2t/5*4根号6(1-t/5)=-4根号6/25*t^2+4根号6t/5

3
S△BCD=1/2*cd*bm=8根号6
若S△PEQ=2/25*S△BCD
则有 -4根号6/25*t^2+4根号6t/5=8根号6

解得t1=1，t2=4．

4
在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴△PDE≌△FBP．
∴S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD=8 ．
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

Answer 2

解：（1）∵PE∥AB，
∴DEDA=
DPDB．
而DE=t，DP=10-t，
∴t6=
10-t10，
∴t=
154，
∴当t=
154（s），PE∥AB．

（2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，
∴EF平行且等于CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴△DEQ∽△BCD．
∴DEBC=
EQCD．
t10=
EQ4．
∴EQ=
25t．
过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，
∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
∴CM=12CD=2
∴BM=
102-22=
100-4=
96=4
6，
∵EF∥CD，
∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，
又∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BQF=∠BFG，
∵ED∥BC，
∴∠DEQ=∠QFB，
又∵∠EQD=∠BQF，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ，
∴ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
又∵△PNQ∽△BMD，
∴PQBD=
PNBM．
∴10-2t10=
PN4
6．
∴PN=4
6(1-
t5)．
∴S△PEQ=12EQ•PN=12×25t×4
6(1-
t5)=-
4
625t2+
4
65t．

（3）S△BCD=12CD•BM=12×4×46=86，
若S△PEQ=225S△BCD，
则有-4
625t2+4
65t=225×86，
解得t1=1，t2=4．

（4）在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴△PDE≌△FBP．
∴S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD=86．
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

Answer 3

1.
ED=t
DP=BD-t=10-t
ED/AD=DP/BD
t/6=(10-t)/10
60-6t=10t
t=60/16=15/4s
∴当t=15/4，PE‖AB

2
∵EF平行且等于CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴∠DEQ=∠C=∠DQE=∠BDC．
∴△DEQ∽△BCD．

∴DE/BC=EQ/CD
t/10=EQ/4
EQ=2t/5

过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，
BM=根号（10^2-2^2）=4根号6

∵ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
又△PNQ∽△BMD，
PQ/BD=PN/BM
10-2t/10=PN/4根号6
PN=4根号6(1-t/5)
∴S△PEQ= EQ•PN= 1/2*2t/5*4根号6(1-t/5)=-4根号6/25*t^2+4根号6t/5

3
S△BCD=1/2*cd*bm=8根号6
若S△PEQ=2/25*S△BCD
则有 -4根号6/25*t^2+4根号6t/5=8根号6

解得t1=1，t2=4．

4
在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴△PDE≌△FBP．
∴S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD=8 ．
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

Answer 4

和