Question

已知函数f（x）=ax-lnx（a为常数）（1）当a=1时求函数fx的最值（2）讨论函数fx在（0，∞）的最值。

Answer 1

f(x)=x-lnx，x属于(0,+∞)
f'(x)=1-1/x
令f'(x)=0,解得x=1
(0,1)递减，(1,+∞)递增
x=1时，有极小值f(1)=1
lim(x趋近于0）f(x)=+∞
lim(x趋近于+∞）f(x)=+∞
所以最小值为1，无最大值。
(2)f'(x)=a-1/x, x属于(0,+∞)
当a≤0时，f'(x)<0, 则f(x)在(0,+∞)上递减。
lim(x趋近于0）f(x)=+∞
lim(x趋近于+∞）f(x)=-∞
所以f(x)无最值。
当a>0时，f'(x)=a-1/x
令f'(x)=0，解得x=1/a
x在(0,1/a)上时，f'(x)<0，f(x)递减
x在(1/a,+∞)上时，f'(x)>0, f(x)递增。
f(x)有最小值f(1/a)=1+lna