Question

如下图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角

如下图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F
①说明OC=½EF
②当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

Answer 1

（1）将BC延长到G，因为MN//BC，所以EF//BC，所以∠ECB=∠CEF,∠EFC=∠FCG…{1式}又因为EC,FC分别为∠ACB和∠ACG的平分线，所以∠ECB=∠ECA,∠ACF=∠FCG,结合1式可得∠CEF=∠ECA,∠ACF=∠EFC,可得OE=OC,OC=OF,所以OC=1/2EF.
(2)当O点为AC中点时，四边形AECF为矩形
四边形AECF的对角线为AC、EF，若O为AC中点，则可得OC=OA=1/2AC，由（1）知OC=1/2EF,所以AC=EF,也可得三角形OAE全等于三角形OCF,三角形OEC全等于三角形OAF,所以AE//CF,AF//EC,即四边形AECF为平行四边形，又CE、CF分别为∠ACB和∠ACG的角平分线，所以∠ECF=90度，因此，平行四边形AECF为矩形。得证。

Answer 2

解（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

Answer 3

第一个不懂，和你一起等，第二个我只知道当AECF为矩形时，EF=AC，EA=CF.EA//FC，