Question

关于高中数学的问题

①在△ABC中，向量AB²=向量AB·向量AC＋向量BA·向量BC+向量CA·向量CB，则△ABC的形状为
②已知两个向量集合A=｛a│a=（cosα，4-cos²α），α属于R｝,B=｛b│b=（cosβ，λ+sinβ），β属于R｝，若A与B的交集≠ø，则实数λ的取值范围是
③已知△ABC和点M满足向量MB-向量MB-向量MC=0，若存在实数m使得向量AB-向量AC=m向量AM，则m=
A.5 B.4 C.3 D.2
请给出较详细的解答

Answer 1

1)
AB^2=AB.AC+BA.BC+CA.CB
=AB.AC+AB.CB+CA.CB
=AB(AC+CB)+CA.CB
=AB^2+CA.CB
CA.CB=0
角度c为直角，三角形为直角三角形

2）
由题意得知两个等式：1.cosα=cosβ 2.4-cos^α=入+sinβ
由1式得知 α=β 带入2式得 4-cos^β=入+sinβ
转换得 4-（1-sin^β)=入+sinβ
得 入=sin^β-sinβ+3=（sinβ-1/2)^+11/4
-1<sinβ<1 当sinβ取-1时，入取最大值5
当sinβ取1/2时，入取最小值11/4
所以得 入的取值范围是 11/4<入<5

3）
方法1：
∵△ABC和点M满足向量MA+向量MB+向量MC=0
∴点M为三角形ABC的重心
由重心性质知|MA|=BC边中线长的2/3，即BC边中线长＝3/2|MA|
又向量AB+向量AC=m向量AM
|向量AB+向量AC|=2倍BC边中线长
∴|向量AB+向量AC|=3|MA|=3|向量AM|
即向量AB+向量AC=3向量AM
∴m=3

方法2：
解：（以下线段都表示向量）
∵MA＋MB＋MC＝0
∴－AM＋(AB－AM)＋(AC－AM)＝0
∴AB＋AC＝3AM
∴m＝3

Answer 2

①直角三角形