Question

跪求：举三个例子，说明数学不仅用于自然科学和工程技术，也广泛的应用于各种人文科学。

比较急，谢了！

Answer 1

数学和哲学，社会学，艺术等人文科学都有关！

1.数学和哲学有关

例子
数之魂与婴儿的目光
尽管古希腊的艺术是人类的苦难和悲剧的最早形式化，但是，古希腊的哲学却充满乐观主义的进取精神，即便是悲观主义的哲学家也用出世主义、享乐主义的态度冲淡了他们的苦难体验。古希腊的两位杰出人物对智慧的不同理解，分别代表古希腊的悲剧意识和哲学意识。悲剧大师埃斯库罗斯在《阿伽门农》中感叹道：智慧来自苦难。大哲亚里士多德在《形而上学》中欣喜地说：智慧来自好奇和闲暇。前者升华出谦卑，后者演化为狂妄。

的确，古希腊哲学从神化自然到神化人，带有原始文化余韵的神话和悲剧释放出的那种阴森、恐怖、神秘的气氛，被进入文明时代的形而上学的明朗、自信、清晰所代替，这是人类思维方式进化的结果，是一次了不起的飞跃。从原始人的神话-想象型思维到文明人的哲学-理智型思维，伴随着抽象能力的出现，人类开始了全新的思维方式和生存方式。大千世界在人的头脑中化为简单、清晰、精确的抽象概念，并被纳入环环相扣的逻辑关系，于是，参差不齐和充满冲突的万物，被哲学思维变成和谐有序的乐曲，宇宙在人的眼中又一次变得新鲜欲滴，人类又一次为自己的智慧而骄傲，甚至会为这种由混沌一片到井井有条的清晰而手舞足蹈，自以为找到了万能的金钥匙，可以一劳永逸地完成上帝的使命。

初次运用抽象符号和逻辑推理的人，必然对理智的魔力有种类似于宗教感的执迷确信，并伴有孩童初见世界的惊奇和喜悦。古希腊的形而上学就是这种确信和惊奇的果实，它最初来自数学的抽象和演绎。古巴比伦和古埃及的实用数学，经过思维天才的智慧游戏而变成古希腊的纯数学。

可以想象，毕达格拉斯，这位创造世界上第一种纯数学的思维天才，肯定比任何人都热衷于对“数”的研究，并陶醉于“数”的魔力之中，那种痴迷，类似于第一次看见大千世界的婴儿目光，免不了幼稚和狂妄，将一切现象与思维的初恋——“数”——联系起来。毕达格拉斯把音乐的和谐作为宇宙的和谐，而音乐的和谐来自数学的和谐。他为人类贡献出伟大的抽象数学方法，也把智慧的狂妄这一人性瘟疫遗传给后人。从此，人类有了完全超越经验的纯粹智力游戏，有了非实用超功利的纯精神发现，有了在物质温饱之外追求精神满足的超越性，同时，也有了追求绝对完美和绝对真理的万能意识，有了把人为臆造的无限和永恒强加于有限而短暂的尘世欲望，有了把思维中的抽象本质强加于具体的万千现象，甚至有了终极理想并为实现之而不择手段。狂妄对谦卑的僭越，让人类付出了漫长而巨大的代价。

毕达格拉斯将数学方法加以无限制扩张，变成解释宇宙和人类的万能钥匙。对“数的本源性”的迷恋及其论证，甚至带有神话和宗教相混合的神秘性；他对万能之“数”的相信，甚至到了难以分辨是迷信还是虔诚的地步。而这一切，恰恰为后来的纯哲学（形而上学）奠定了基础，众所周知，古希腊形而上学的方法论是建立在数学与几何学之上的，甚至像柏拉图这样的直观-体验型哲学家，也深为数学和几何学的奇妙而感叹，在他的学院门口挂上了“不懂几何学的人禁止入内”的牌子，并把幼稚甚至可笑的计算应用于他的政治学和伦理学。这也难怪毕达哥拉斯把数学变成一种神秘的宗教。数学是古希腊的形而上学和西方的理性主义的哲学之魂，正像物理学是近代经验主义哲学和现代科学哲学之魂一样。

在本体论的意义上，原始的图腾与形而上学的“实体”并无实质性区别，它们都是终极性主宰。原始文化和古希腊哲学的区别只在于：原始人对图腾只有情感上信仰上的虔诚，图腾只是拟人化想象力的产物，而没有理智抽象，更没有逻辑论证。而数学为古希腊的形而上学提供了抽象概念和逻辑演绎的论证方法，这就使人类不仅相信且自认为可以理由充足地相信形而上学本体的真实性。当那么复杂、那么巨大、那么深邃、那么神秘的宇宙，变成人类思维中的几个简洁的数学等式之时，变成象由数字标记的音乐一样和谐美妙的图景之时，人类怎么能够抑制住那种成为主宰者和征服者的喜悦呢?怎么能够怀疑自己的幻想仅仅是幻想呢?

古希腊的乐观精神来自对智慧的热爱和自信，“认识你自己”的潜台词，是我们能够通过理智来认清自己和世界。不论能否实现，但是内心的坚信总会使人找到生命的支点。即便一个实际上已经走投无路的人，只要他在精神上相信总会有路，他就不至于绝望，他仍然能够乐观地对待自己的处境。“阿Q精神”确实是人类早期生命中的先天素质。中国人的“阿Q精神”之可悲在于：它不只是远古时代和古代社会的国民性，而且是贯穿中国的有文字记载的全部历史的人格。当西方人开始面对现实并意识到人自身的局限之时，东方人仍然沉浸于精神臆造的幻觉之中，并保持着“老子天下第一”的自以为是。

不论古希腊哲学在人类思想史上占有多么重要的地位，也不论那些哲学史的研究者们给其冠以多么高贵的头衔，我还是固执地认为古希腊哲学是幼稚的、天真的、甚至就是盲目的，是一种哲学化的宗教。我这样说并非苛求于古人，而只想中肯地确定它在我的知识谱系中的地位。古希腊哲学的全部价值、意义和谬误都在于这一点：它刚刚出生，是个婴儿。尽管脆弱，但它是一个全新的完整的生命。它的目光还很稚嫩，它的幻想有些不着边际，它的自信也膨胀为狂妄，它在“认识你自己”时，颇有些自我欣赏的自作多情。但它本真、纯洁、具有开创性，是人类智慧的最丰富的源头。

凡是真诚地相信自己已经看清并懂得了一切的人，肯定还处在浓厚的迷雾之中。

在这点上，二千多年之后的人类，并不比古希腊人成熟多少。难道不是吗？二十世纪的人类还在轰轰烈烈地实验着柏拉图的理想国，而这种试验的破产，刚刚发生在眼前，回想起来，就如同昨天刚亲历过的雪崩。

2.数学还和社会学有关（主要是政治，比如选举）

（1）政治系统研究

本世纪中叶以来，西方出现了许多运用系统分析方法或结构功能分析方法研究各种政治系统的论著。1957年，美国政治学家莫顿·A.卡普兰（Morton A.Kaplan）在他的《国际政治的系统和过程》一书中运用系统论、对策论和数学模型方法研究国际政治。他在前言中指出："本书试图从理论的角度来系统地分析国际政治。因而，它是近来学术界想把大量资料整理为一套相对有序的命题的一系列努力的一部分。"
"严格地讲，一种理论应包括一套基本术语、定义和公理，在这个基础上，推导出成体系的定理。这些定理应该具有逻辑上的一致性。最终得出的定理或命题的解释应该使其中的术语都能有一个明确的经验依据。最后，这些定理应当能够被有控实验或系统观所驳倒或所证实。如果从这种严格意义上来解释'理论'，那么本书还构不成一种理论。""如果放松对于理论的某些要求，不要求体系的完整性，不要求逻辑上的一致性，不要求对术语作出明确解释并用实验室的方法来证实，那么本书就是一种理论，或者至少包含着一种理论。这种理论可以看作是国际政治的雏形理论或者是引玉之砖。"从上述引文不难看出，作者实际上是仿照数学公理化的思想与方法来研究国际政治系统的，虽然在国际政治的演变与发展过程中存在着许多偶然的及人为的因素，因而无法满足数学公理化的一致性等方面的要求。

1973年，法国政治学家莫里斯·迪韦尔热（Maurice Duverger）在《政治社会学一一政治学要素》一书中运用社会学中的一些概念和方法，从社会现象的总体中去考察、比较、分析各种政治现象，并试图把现代数学和控制论的研究方法渗透到社会科学中去。作者认为，社会科学比自然科学发展缓慢，但迟早也要走上共同的发展道路，遵循共同的规律，即从描述阶段到归纳阶段，到推理阶段，最后到公理阶段。他说："极有可能的是，社会科学将日益走上数学分析途径，再过几十年将走上形式化道路，而这种方向部分地决定了社会科学的进展。

（2）冲突与合作策略

各种冲突、对抗、竞争广泛存在于政治、商业、军事、体育比赛等各项事务之中。对策论是运筹学的重要分支，最早研究的问题是对抗或竞争中的各方所应采取的策略以及由此得到的结果，并给出策略优劣的分析。研究方法是：先构造出所论冲突的数学模型，然后用数学方法加以分析、比较、计算，根据所得结果对原来所论冲突作出相应的解释。对策论诞生于1927年，由大数学家冯·诺伊曼创立。冯·诺伊曼认识到经济与政治中的某些决策条件在数学上与某些策略对策等价，所以从分析这些对策中所学到的东西可以直接应用于现实生活中的决策。

一个典型问题是1948年《美国数学月刊》提出的。甲、乙、丙三人参加一个掷镖游戏，每人各持一气球，只要气球不破，就可以继续参赛，优胜者属于唯一保持气球完好的参赛者。每轮投掷中参赛者都以抽签决定掷镖顺序，然后依次投掷一支飞镖。已知甲的命中率为80％；乙的命中率为60％；丙的命中率为40％。每位参赛者应采用什么策略？

答案似乎很明显：每位参赛者都应当把目标对准较强对手的气球，因为如果把它击中，他所要面对的只是较弱的对手。然而如果3位参赛者全都采用这种切合实际的策略，概率计算将显示，最差的选手丙取胜的机会最大（37％）。而最好的选手甲获胜的机会最低，为30％。乙的获胜机会也只有33％。

问题就在于，甲和乙互相拼斗时，丙几乎不受到任何威胁。于是，对于甲和乙来说，最佳策略是在除掉丙之前彼此不进行争斗，而丙的最佳对抗策略仍然是把镖掷向较强的对手甲。这样一来，甲和乙获胜的机会分别增加到44％和46.5％，而丙获胜的机会则戏剧性地下降到9.1％，然而这种局面可能是不稳定的。因为它需要甲与乙合作。虽然甲是最佳选手，但他还没有取胜的最佳机会，他可能想欺骗乙。但是如果他不能用欺骗的飞镖把乙击败，乙就可能回击，三人的获胜机会将再次发生变化。
如果甲不与乙合作，不论他是否可以欺骗乙，他可能试用另一－种策略：向丙声明，只要丙不向他掷镖，他也不向丙掷镖，如果丙向他掷镖，他必将还击。于是可能形成一种局面，使甲与乙处于拼斗状态，但丙不向甲掷镖，而是把镖掷向乙。概率计算表明，此时丙的最佳作法是向乙的气球掷镖，如果乙也攻击甲，则甲的总获胜机会仍为44％，乙则为20％，丙却是35.6％，甲虽然未能增加其获胜机会，却成了竞争中的领先者。如果乙也对丙发生威胁，面对两个对手的威胁，丙的最佳策略是不对两者中的任何一位攻击，把镖掷向空中，只要没有人攻击丙，他在游戏第一阶段中的唯一目标就是增加在第二阶段中与对抗的机会，而不是与甲对抗。此时甲获胜的机会是38.1％，乙为25.7％，丙为36.2％。不过这还不是定论。如果甲扩大了威胁面，使丙不再向空中掷镖，局面就会变得愈加奇妙。
这个问题的基本前提是每位参赛者都是有理性的，而且都力图为自身利益考虑。容易理解，气球战的原理与多位候选人政治竞选或多个公司商业竞争的情况颇为相似，其中的一项教益在于，显而易见的策略并不一定是好策略。另一项教益是，在缺乏有关竞争者能否联络、共谋、进行威胁或达成有约束力并可以实施的协议等信息的情况下，对可能的解法是不能进行正确评估的。
另一个涉及冲突与合作的例子是著名的"囚徒悖论"

设甲、乙二人为同一案件的两名罪犯，他们被隔离并被告知：如果他们都招供，可得到较轻的判处，如每人监禁5年（5，5）；如果一人招供而另一人顽抗，前者因立功而只判3个月监禁，后者则受到10年监禁的加倍惩罚（0.25，10）或（10，0.25）；如果二人均不招供，则由于缺乏证据只能各判处1年监禁的轻刑（1，1）。从总体上看，如果甲乙二人能相互合作，共同顽抗，就能争取到各判一年监禁的最佳结果。但是，对于他们中的任何一人而言，无论对方是否招供，自己招供似乎都是最佳选择；而当双方都这样考虑时，他们只能获得每人监禁5年的结果。实际上，对策论的一般研究结果表明，当利害冲突涉及到多人的场合，对个体最优的选择，往往并不能实现总体最优，而要想指出合理的行动又往往是十分困难的，"囚徒悖论"只不过是较为突出的一个，其中的原理既可以运用于国内外市场上的经济竞争，又可以用于研究世界和平与国际争端。

（3）名额分配中的难题

在人类的社会生活中，各种分配问题极为常见，针对不同的实际情形建立合理的分配原则受到经济学家、政治学家、法学家当然还有数学家等的共同关注，而名额分配则是其中十分典型的一类，有关的实质性内容早在18世纪就开始被美国的一些政治家们认真地加以讨论了。

美国宪法第一条第二款规定：每个州派往众议院的代表人数应与本州人口成比例，谁能想到这条看上去既简单又合理的规定永远也不可能真正实行呢？

美国现有50个州，各州的人口数量之间又没有整数倍，在一个特定规模的众议院，每个州的理想代表人数是按该州人口与总人口的比率乘众议院总成员数得出的。这个理想数字可能是个分数，而各州的代表名额却必须是整数，于是就需要有一套分配代表名额的合理方法。

在美国建国初期，一些著名政治家包括亚力山大·汉密尔顿、托马斯·杰佛逊和丹尼尔·韦伯斯特，都曾提出他们各自的解决方法，财政部长汉密尔顿的方法最容易理解，他的方法于1792年经国会通过但紧接着被乔治·华盛顿否决。按照他的方法，开始时先给每个州一个代表数，与其理想的代表人数的整数部分相等，舍弃其分数部分。换言之，如果佛蒙特州理想的代表人数为3.62它就有3个代表。在这个基础分配的代表人数上计算出代表总数，如果总数没有达到众议院要求的人数，就取那些舍弃了的最大分数值的州的代表，进众议院。1975年，《美国数学月刊》刊登了迈克尔·巴林斯基和H.佩顿·扬的文章"按比例分配的定额法"其中根据汉密尔顿的按比例分配方法虚构了如下的例子。在一个拥有5个州的国家中，要成立一个有26个席位的众议院。下表显示了各州的人口和根据汉密尔顿的方法每个州所能获得的代表人。
在汉密尔顿的方法至少符合一个平等的原则：它给每一个州能够就近上下浮动的理想的代表数。换句话说，如果D州的理想代表数为3.319.他的方法总会给D州3个或4个代表，永远不会2或5个代表.符合这个自然准则的方法据说能满足定额，并且是人们所希望的一种被认为是公平的按比例分配方法的最低定额。可是，汉密尔顿的方法违背另一个更难理解的公平准则。在上述5个州的例子里，设想众议院的规模由26个席位增加到27个：在27席位的众议院，A、B、C、D和E各州分别获得9、8、6、3和1个代表数。奇怪的是，虽然总人口和D州的人口都没有变，众议院人数增加了，D州的代表人数现在反而减少了。数学上一种令人痛苦的扭曲，叫做亚拉巴马悖论，使D州处于双重的不利境地（因为这种悖论最初是在牵涉到亚拉巴马州的计算中发觉的）

（4）公平的选举是可能的吗？

① 贡多赛（Condorcet）投票悖论。假设在某一选区有3名候选人（记为x，y，z）让三位选民（记为A，B，C）来选举，用1、2、3来表示选民对候选人的偏好优先顺序，结果如右表。
由此表可知，三分之二的选民认为A比B好，三分之二的选民认为B比C好，按照人类理性思维的习惯，似乎应该是A比C好。然而，投票的结果恰好也有三分之二即多数选民认为C比A好。A、B、C之间的顺序于是变得无法确定。这就是所的贡多赛投票悖论。
现实生活中的选举过程往往是：先在两名候选人中按照"少数服从多数"的原则选出一名，获选者再与另一名候选人进入下一轮的竞选。但采取这种选举方法，候选人之间不同的竞选顺序将会导致截然不同的最终结果。在上面的例子中，若第一轮表决在x与y之间进行，则x获胜并与z进行第二轮的角逐，最后的获胜者，若让y与z先竞选，则x将赢得最后的胜利，而y也可以稳操胜选，关键在于选举的顺序。
②波达（Borda）投票悖论。波达的投票方法是用数值来表示选民对候选人的偏好顺序，例如规定1表示最好，2表示次之，依此类推。把全体选民对某个候选人的偏好顺序数加起来，就得到该候选人?quot;波达数"。通过比较各个候选人的波达数（这里波达数小对应优先程度高），便可以得到社会对全部候选人的偏好顺序。在上面的例子中，3名候选人的波达数都是6，所以社会对他们的评价都是一样的，没有优劣之分。
波达投票法避免了贡多赛投票悖论。却产生了新的矛盾。假设在上面的例子中，候选人z由于某种原因临时宣布退出竞选，选举只在x与y之间进行。如果人们对x和y保持各自的偏好顺序不变，则有右表所示：
根据波达数，社会认为候选人x优于候选人y，这与候选人z没有退出时x和y没有差别的结果显然不同。可见，波达投票法的最终结果竟然与候选人的数目有关。这就是波达投票悖论。
③"扩大委员会悖论"与"离任委员悖论"。荷兰数学家施达灵（Mike Staring）1986年发表了题为"委员会选举的两个悖论"的文章，其中给出了另外两个有关选举的悖论：
一个众所周知的选举程序允许每个选民拥有与委员会中有待补充的缺额同等数量的投票权。这种被普遍使用的、用以处理两次相继选举的空缺的程序，可能导致某些奇怪的现象。考虑这样的情形：有12位选民（编号从1到12），他们要从9位候选人（A至I）中选出一个委员会，在只有两个空缺需要补充时，每位选民投票给对他（她）来说排在最前面的两位候选人。当每位选民对于候选人的个人偏好如下表所示时，投票总数将有如下结果：候选人
A和B都获得四票，而H和I各得三票，其余候选人每人均得两票。因此，A和B将当选。
然而，如果有三个空缺而不是两个，每个选民就必须投三票。结果被选上的将是C，D和E，因为他们每人都将获得五票，而其余每个候选人都只获得四票或三票。类似的计算导致这样的结论：如果有四个空缺，那么既没有二人委员会中的成员、也没有三人委员会中的成员能够当选；事实上，当选者将是F、G、H和I！
因此，这将被概括为"扩大委员会悖论"：一个候选人可以被选进一个由N个成员组成的委员会，而当这个委员会由N＋1个成员组成时他却未必能够当选。事实上，N人委员会与N＋1人委员会的成员可能毫无关系。
当委员会的一个已当选的成员在两次相继的选举期间退出了，就可能发生第二个现象。通常，在发生这样的事情时并不进行.实际的选举，而是简单地指定在上一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人入选。这似乎是合理的，但是，假设有12位选民，他们要从5位候选人中逃出一个由两人组成的委员会。每位选民对于候选人的个人偏好如下表所示。如果每位选民必须投两票，投票结果是，委员会将由A（获得12票）和B（获得5票）组成，候I选人C（得3票）以及D和E（均得2票）将不能当选。如果几天后A退出了委员会，而且所有选民对候选人的个人偏好保持原来的状态，一轮新的投票将导致获胜是D和E，各得8票。然而，指定第一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人以代替离任委员A的程序，将导致候选人C当选。于是委员会将由B和C组成，而不是D和E。这一结论就?quot;离任委员悖论"：在有一名已当选的委员退出委员会（因此，他也不再是候选人）时指定第一次选举时栗数仅次于最后一名当选者的候选人当选的程序，可能将产生一个这样的委员会，它与如果选民有机会再次投票而将产生的委员会毫无关系。
由以上的分析不难看出：数学方法在合理地设计各种政治系统并保证其正常运作方面有着至关重要的作用，以致许多西方学者认为，寻求合理的民主控制方法、建立有效的政治协商机制本质上是一个很困难的纯数学问题

3.数学和艺术有关

这个，⊙﹏⊙b汗，就不用举例子了吧！
几何和绘画。。。。。。。还有高中学的一种几何绘画方式和美术上的那个透视有关……
建筑艺术方面和数学关联的就更多了！
非要例子的话看这个！http://blog.sina.com.cn/s/blog_3e1bf0390100j1mi.html

答了这么多，分给我吧！
虽然都是在网上找的资料，但是筛选和整理也费了我一段时间的！

选我的答案呗！

Answer 2

1.1 目前数学教学中人文精神现状分析
1.1.1 由于受到考试制度的影响，数学课堂教学中接受性教学占主导地位，这种教学方法的显性优势是：学生的基础知识扎实、数学解题能力强，但其成绩是靠大运动量训练取得的，学生无法获得对数学的良好感受，又由于过分强调严格的逻辑推理，侧重于数学的科学性，从而使学生觉得枯燥无味，不能在社会文化的大背景下去看待和理解数学。
1.1.2 数学教师淡化了传授人文精神的意识，教学中忽略了让学生体会数学精神、领略数学中的和谐美、感悟师生间的数学交流，也较少尝试教学中的创造等，也即忽视数学的人文价值取向。有的老师虽有所涉及，却认为会冲淡数学的科学性。
例如在《勾股定理》教学中，若教师只传授“勾三股四弦五”等教条的纯数学理论，而忽视了定理以外的人们对认识自然、征服自然的不懈追求，忽视了人们追求自身完美与高扬人的价值的人文精神，发掘不了数学中蕴含着丰厚的人文精神。
1.2 加强和重视数学人文精神是现代数学教育的需要
日本数学教育家米山国藏认为：“无论是对于科学工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的就是数学的精神、思想和方法，而数学知识是第二位的。”笔者认为数学教学中培养各种人才所需的共性的东西，既不是数学知识，也不是解题能力，而是数学观念——数学地思考、处理问题的思想方法，由数学的精神来感知人文精神，为学生的终身发展奠定坚实的基础。
《数学课程标准》要求使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，使学生初步具有创新精神和实践能力，在情感和一般能力方面得到充分发展，做到科学性与人文性的整合。教师应把培育学生的数学人文精神作为现代数学教育的重要目标之一，以数学人文精神为导向，奠定数学科学精神的基础，两者不可偏颇。
2 数学人文精神的涵义与意义
2.1 数学人文精神的涵义
人文精神，是一种以人道、人生、人性、人格为本位的知识意向、价值意向。它围绕着“人应该怎样生活”这个问题，本质上以人为中心，强调人的情感，人的体验，求善求美，理性兼顾。
数学人文精神，就是具有数学特质的人文精神。
2.2 数学人文精神对教师人格陶冶、学生发展的意义
教师的理想、情操、智慧才华、意志品质、反省力量以及他们的仪表、神态、语言和举止直接影响着学生，数学人文精神能促使教师的人格完善。
※数学中严密思维影响着数学教师对一件事物发展中的辩证认识：从空间、平面、点、线到数、式、方程等知识的关联影响着数学老师的哲学观点；从配方法、待定系数法等数学方法和数形结合思想、分类思想、化归思想等数学思想的应用也影响着数学老师的探索精神。教师敬业爱生、平易近人的品质及较强的责任感不断地影响、作用于学生。
※数学人文精神使学生从数学的内容、数学的方法、思想去潜移默化地感受规则、责任心、创新、诚信、严谨等精神，从而逐渐养成自觉自立自强的品行、善于思维善于创新、追求人生价值及对美与善的崇高追求、敢于正视失败的心理品质，这些人文精神对学生一生的发展影响很大。
3 数学人文精神的内容
克莱因说：在最广泛的意义上说，数学是一种精神，正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活，试图回答有关人类自身存在提出的问题。数学的人文精神相当丰富，笔者经过归纳，认为主要有以下几点：
3.1 数学的规则——形成自律
数学中的结论是公理和定义的约束下形成的逻辑结果，每个数学问题的解决，都必须遵守数学规则。
如用四边形的地砖能铺成密缝的地面，这是由于四边形外角和为360°；又如要洗干净一件衣服若需漂洗三次水，则当三次水一样多时，洗得最干净，这是由于它遵循了一个数学原理：一个正数被分成同样大小的三个数时，其积最大。
一些实际生活问题的解决，有赖于数学模型的建立。这种对规则的敬重迁移到人和事物上，使人们形成一种对社会公德、秩序、法律等内在自我约束力，“没有规矩，不成方圆”，便是数学规则影响人们行为规范的最好诠释。
3.2 数学的严谨——培养责任
学习数学常常需要对问题进行镂思镂析，这不仅能够培养学生热爱数学，还能够培养学生的耐心、毅力与对事业的执着精神，数学的思维方式、数学的文化精神能使人养成周密、有条理的思维方式，有助于培养学生一丝不苟的工作态度、敬业精神和强烈的责任感。
3.3 数学的论证——可见诚信
数学早在古希腊欧几里德时代，就有了公理体系，研究就“有法可依”了。如“对顶角相等”、“平行公理”等，公理本身是人们在对有关现象进行大量考察、探索，以实事求是的科学态度建立的，学生学习数学首先是建立在对公理深信不疑的基础上，初中生正处在青少年时期，培养他们求真求实的品质很重要。平面几何教学中的推理论证，使他们理性地认识了什么是真？什么是假？在他们的心灵里刻上了“真是来不得半点虚假”的哲学道理，这种求真务实的学风会影响和迁移到学生的生活中，对建立诚信社会起到促进作用，它使人类生活在秩序、文明、讲求信誉的社会环境中。
3.4 数学的美感——充满和谐
数学美除了数学问题所提示的对称美、简洁美、奇异美、和谐美等，还应该通过教学过程中展示的数学美，使学生对数学美的感受和欣赏能提高到文化的层面。
如当天气气温在23℃时，人们会感到舒服，是由于23：37（体温）≈0.618，可见黄金分割在生活中也是那么的和谐；二次三项式ax2＋bx＋c当值为0时便为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当出现变量y＝ax2＋bx＋c时便为二次函数，在ax2＋bx＋c＝0中△＞0时，有两根x1、x2，二次三项式ax2＋bx＋c可分解因式为a（x－x1）（x－x2），二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点的横坐标为x1、x2。可见，事物是和谐地联系着，这样的美感能激发学生热爱生活，丰富想象，愉悦情调，涵养道德的目的。
就数学与其他学科的关系而言，数学是其他学科的工具，其他学科由于数学的参与得到意想不到的发展，这种完美结合，体现了现实世界和谐统一。
3.5 数学的探索——体会自强
解数学题是意志的教育，当学生在解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待灵感的到来，学会了当灵感来到后的全力以赴。
动机、信念等非智力因素起关键作用：知己知彼，百战不殆的自信心；他山之石，可以攻玉的适度焦虑；滴水穿石，绳锯木断的意志力。如果在学校里有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方成功了（波利亚），这些成功的经历能够培养他对事业的锲而不舍的追求。这也是中学教育的重要任务之一。
3.6 数学的发展——探求合作
数学的基础性决定了它应用的广泛性，既体现了数学是多元复合性，也体现了数学的合作性。
数学新课程强调数学的探究、合作性，也是数学发展在中学阶段的具体体现。同时，民主性也是数学发展的重要内容，如数学教师在课堂中的适度表演、学生可以坐在位置上回答问题、让学生争先恐后地上讲台讲解题目等数学交流都体现了合作与民主精神，这种教学思想会对学生起到潜移默化的作用。
数学人文精神还包括通过教学使学生具有随挫折和战胜危机的顽强意志、一种催人奋发向上的情感等。
体现数学人文精神的教育，是促进人全面素质积极发展的教育，是关注学生心灵，让课堂焕发出生命活力的教育，教师应以独特的个性来发挥和施展自己的才能，通过各种途径来培育数学人文精神。
4 培育数学人文精神的途径
培育数学人文精神，教师的人文素质是前提，数学课堂教学是主渠道，此外，还可以通过数学活动课、数学练习试卷、数学辅导及师生间的课间交流等加以实现。
4.1 提高教师人文素质
数学教师应当提升传授人文精神的意识。教师的教育教学活动是教师本身思想、信念、情操和教养等全部人格力量的真实外化的表现，教师的理想、意志品质、语言举止等无一不给学生以莫大的影响。教师的教育应当为学生未来发展服务，可见提高教师的人文素质是多么的必要。
若教学中只注重概念、定理、公式、逻辑推理的教学，在审美、意志情感、价值观、责任感等方面缺乏对学生的正确引导，造成学生缺乏对现代生活全面、完整、正确的理解和认识，不利于学生身心和谐发展。
首先，教师应不断提高师德修养，身先垂范，不断地磨练自己，有良好的心理素质，充满自信，一手漂亮规范的数学板书、一口流利动听的普通话、一身得体的服装显出老师对人的尊重，对事业的一丝不苟。
其次，不断提高教学技能，改进教学方法，耐心解释充满数学美的逻辑推理；善于深入浅出地分析数学概念；抑扬顿挫地讲解数学情景应用性问题，十分重视数学方法、数学思想的教学。教师要熟知数学史话，用数学史知识去感染学生，使学生体会数学探索中的艰辛，要学习数学家们不屈不挠地探求科学真理的精神。
再次，教师要不断充电，如学习新课程的教学理念、多参加一些培训听讲座活动，参加其他学校的教研活动，多看一些教育教学类杂志，在渊博的知识去感染学生。
4.2 数学课堂教学中的渗透
师生间学习交往、情感交流、行为方式的呈现主要在数学课堂中，那么在课堂教学过程中如何培育数学人文精神呢？
4.2.1 发挥好学生主体地位
教学过程是师生交往、各级互动、共同发展的过程，教师应突出学生的主体地位，让学生人人参与，创设情境，平等交流，不这仅是一种认识活动过程，更是一种人与人之间平等的精神交流。
在课堂上，要发扬教学民主，活跃课堂气氛，我很喜欢学生能多讲讲解题思路、多暴露解题思维过程、能解答同学间提出的问题。
《正多边形》教学中，我把全班分成七个大组，让他们自己上讲台讨论圆内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形的中心角、边心距、边长、周长、面积等的关系，学生既兴奋又认真，有一组还把正十边形中的黄金分割问题也提了出来，另一组提出了sin180的解法，我最后进行了点评，课堂效果较好。
一堂老师满堂灌、就题讲题的数学课实际上忽视了学生认识事物的情感，忽视了学生的探索精神及创新思维。
4.2.2 重视过程教学
新课程强调课堂是一个生态环境，教与学的过程应体现数学人文精神。
※在新课引入时采用多种方法激起学生的兴趣、学生的情感，如《圆的基本性质》教学中，可设计这样一个导入语：没有规矩，不成方圆，圆中有许多基本性质，今天我们学习的课题是“圆的基本性质”。简单一句话，透射出数学规则影响到人们的行为规范。
※一些定理、概念的出现需要通过归纳加工，师生共同来完成，老师要注重过程。让学生探究后的经验与方法会自觉或不自觉地被移植到以后的工作、生活中，有助于能力的提高、才干的增长。
※教师还应注重学生对书本例题解法、教师讲解、学生解答的观点的批判。
在一堂《切线的性质》公开课上，我通过归纳后，得出了切线的三个性质，一名学生提出自己的观点：切线的三个性质书本上排列有问题，应把最重要的一个性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”放于首位（原来是第二点），并说把半径改成“经过圆的线”更妥当。我及时地给予鼓励，课后与听课老师还交流了这个知识点。我们应十分肯定学生的这种批判性，这是培养“完整的人”的需要。
※课堂小结应尽量让学生自行来完成，各自发表所学的内容，讲述新课对自己的启发及自己的一些独到见解，不仅培养了学生勇敢精神、交流能力，而且能呈现学生的创新思维，久而久之，学生将受用终身。
4.2.3 充分利用阅读材料
数学教材中的阅读材料以介绍本单元中的数学知识史、某些定理的由来、相应的数学知识等内容为主，材料丰富，可读性强，同时也包含了许多数学哲理，教师应充分利用好阅读材料去培育数学人文精神。
如数学第三册有一篇材料——勾股定理，教学时，我从公元前2世纪已有记载勾股定理的著作《周髀算经》讲到这一充满美感的数学定理的实际意义、为探索定理有许多学者孜孜以求，如今已有四百多种证明方法，让学生明白这种严谨的数学精神不正是该我们学习的吗？
在学习“无理数的发现”这个材料中，笔者讲述了无理数的发现过程：一名叫希伯斯的经过多次计算，冲破重重阻力，提出了当时被视作异端邪说的无理数，后来到16世纪，许多数学家凭着顽强的意志，与顽固派作斗争，终于使人们认识到无理数的正确性。我们应当学习这种敢于挑战、不畏艰辛的精神。
在初中阶段类似的阅读材料非常多，如能让学生体会自强的“韦达定理”、让学生感到数学瑰美和谐的“黄金分割”、可培养学生责任感的“一定全等吗？”等等。数学老师应十分重视阅读材料，通过阅读材料包含的数学人文精神能影响学生的精神状态、对未来的追求与做事的执著。
4.2.4 善于借“题”发挥
习题课、复习课教学融合了数学基础知识，运用数学方法，渗透数学思想，是培养数学人文精神的良好途径。教师应借“题”发挥，挖掘出题目的内涵，使题目真正发挥出其应有的价值。
※教师应重视思维的产生过程。
如在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高线,∠A的正弦可表示成：sinA＝BC/AB=CD/AC=BD/BC，通过转化，灵活的解题思路一览无余，思维灵活性大有提高。
※学会关心。习题课、复习课是关爱学困生的好机会：培养学生富于爱心，以尽力去帮助别人。笔者在这类课中，对学困生采用“小步走”策略，即分层次精心设计好习题，让学困生感到有题可做（小步走），然后通过学生间帮教（给支点），老师再点评一些典型做法的复习方法，觉得很有新意。
如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当b=0(或c=0)或b、c同时为0时，如何求顶点坐标？变换解析式为y=a(x-m)2+k、y=a(x-x1)(x-x2)时顶点坐标又如何？变换符号后解析式为y=ax2-bx-c又如何求？这些练习的成功使他们感到了自己的价值，也培养了他们的责任心。同时，为给优等生以动力，提高他们的竞争能力，可采用“挑战新高”、“谁与争锋”、“华山论剑”等标题，用多媒体精心编制设计的习题，激发优等生的竞争力与争强好胜心。
※必要的数学挫折教学能培养人思考问题的缜密性，也是挫折教育的极好形式。
例如我设计过这样一个题目：
师：求y=x2+ 1/ x2 的最小值
生：由于y= x2+ 1/ x2+2－2＝（x+1/x）2－2，故y最小值为－2
师：x2+1/ x2会是负数吗？
生：显然不会！
师：说明配方有误
生：应当化为y=（x－1/x）2＋2，这样，当x=1/x，出现最小值为2。
这类数学问题的教学既让学生有了挫折感，又有助于培育严谨诚信的人文精神。
※习题还能培养学生“合理选择”能力。合理选择、注重选择是人在社会发展中的重要品质与精神。
走哪条路较科学、最合理？选择，指引了我们迈好第一步，对解题很重要，人生不也是这样。教师应把这种内涵借“题”发挥出来。
4.3 活泼的数学活动课
数学活动课是课堂教学的延续，内容丰富，形式多样，因而对于学生数学素养的提高、数学能力的培养很有帮助，引导学生数学地思考，同时也是培育数学人文精神的好时机。
如面向较好学生的数学建模挑战赛。
我曾经出过这样一个题目：直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，为了方便大家，提高货运效率，要求它到三条公路的距离相等，请设计地址：
分析：很多学生在思考时，只作出公路构成的三角形的
内心，即只有一个点，事实上，还可作出三条外解平分线，
这样共有四个交点，即内心和三个旁心。
这个问题既考查了思维的广阔性，又体现了思维的深刻性，题目本身又具有一定的开放性，突出知识的再创造、再发现过程，考查思维能力和创新能力，从题意到思维过程，显现出人周密思考问题的重要性。
例：美伊战争开战前，战争的阴影对美国股市的影响已损失1.1亿美元。伊拉克探明石油总量为1150亿桶，如战争胜利，美国有望控制伊石油的80％，每桶能获利15美元。问：美国在支付1千亿美元的战争费又弥补股市损失后大约可获利 亿美元。
这题从一个方面解释了美国发动这次战争的原因，能让学生体会用数学的眼光去分析一些社会问题。这些实际问题的提出，会迁移给学生科学思考的思维观。
现代社会越来越需要人们的合作精神，让学生们感受在合作中长能力、长智慧。我们在活动课中常开展一些简单的合作探究数学活动，如三人一组调查银行利率来计算存款方式对获利的不同影响；运用三角形相似、三角函数、物理原理等多种方面测量旗杆高度等，初一新课程中也有小组合作，用长方形纸片制成的长方体，探求其容积问题，需要几个学生用剪、拼、粘等制成长方体，然后用不同数据得出不同的容积。这类问题不仅能提高学生学习兴趣，又培养了学生的合作精神，可以说，数学活动课是培育数学人文精神的载体。
4.4 利用好各次数学练习与考试
数学的各次练习与考试除了其知识性外，老师应充分发掘其它的功能，特别是培养学生要有责任感，一种勇于取得胜利的自信心，练习与考试中考查学生的逻辑推理能力、创新能力外，教师要有意识地出一些让学生感到一种数学特有的亲和力、美感，以培养人的情感、人的体验，这是数学人文精神培育的又一渠道。
例：设想你处在一个表面极其光滑而且像地球那样大的圆球上，一条钢带紧紧箍住了这个球的赤道。如今给这条钢带增加一米的长度，使得钢带离开了球的表面，并且处处同球面保持着相等的距离。钢带的这种升高，是不是足以使你能够：
A：在钢带下面塞进一张扑克牌
B：在钢带下面塞进你的手
C：在钢带下面塞进一只棒球
分析：60%学生做这题时，想当然地认为是A，实际上正确的是C。看起来似乎惊奇，给这条钢带加长一米后，钢带居然升高到离球面大约16厘米！这个高度足够让一只棒球从它下面穿过。钢带箍住圆球时，长度是以地球的圆周长，当周长增加一米后，半径增加了1/2Л米，大约16厘米。实际上，这个圆球不论是地球还是足球，升高的高度是完全一样的，都是大约16厘米。
我在分析这个题目时说，数学是一门严谨的学科，是不允许想当然的，拿数据说话，让事实说话，这就是数学的真。通过这题，更能让学生了解数学的价值，增进对数学学习的信心，并获得终身受益的影响。
做题目时，老师一定要求学生书写端正，卷面整洁，这对培养学生责任感极有益处。
此外，平时的练习与试卷可从以下几方面进行一些提示：如对一些简单问题可提示“只要仔细些，轻松能过关”，对一些中上难度的题目，可提示“只要有信心，成功等着你”，对一些灵活有开放的题目，可提示“沉着冷静，提升自己”等。这样，学生良好的心态，数学解题时胜不骄、败不馁等品质会正面影响学生的成长，真正做到数学精神与人文精神的整合。
4.5 开展数学研究性学习
研究性学习可理解为学生在教师指导下，从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。这样的学习方式应该是课堂教学的补充和拓展。在研究活动中，让学生跳出课本，注重培养关注社会、勇于创新的精神，注重培养学生数学地思维，使学生深刻理解数学的应用之美，培养学生的创新精神和实践能力。
在学习圆台的侧面积公式后，我提出了一个课题：圆柱、圆锥、圆台三者的图形与侧面积之间有否联系？有一个学习小组第二天一大早就对我说：我们经过分析，发现圆柱、圆锥、圆台实际上有共同点：当圆台上底直径与下底直径等长时，就形成了圆柱；当圆台上底直径为零时，就形成了圆锥。同时，三者的侧面积只要记住圆台侧面积公式：s=Л(R+r)L即可。当R＝r时，有圆柱侧面积s＝2ЛrL，当r=0时，有圆锥侧面积s=ЛRL。还有一个小组也发现了类似的性质，并且又得到了另外一个知识结论：梯形当上底为0时，便成了三角形，所以面积公式也可相通。学生受到了老师的表扬，学习数学兴趣更浓了。
另外，我还设计出诸如“公积金购房贷款”、“计算我校教学楼的砖块数量”、“池塘养鱼”等实际问题，让学生展开充分的思考与讨论，从而有效地培养了学生运用“数学思维”解决实际问题的能力。
研究性学习是一个很好的个性化学习方式，按学生自己的学习意愿，选择相关的内容，让学生自主去看一些数学人文方面的书籍和数学发展史方面的科普读物，如祖冲之的圆周率、赵爽的周髀算经、勾股定理的证明方法、函数概念及其发展，进一步感受数学方法和思想，了解数学家们是如何研究数学的，感受灿烂的数学文化，这是很好的培育数学人文精神的途径。
此外，教师在辅导、与学生课间谈话、学生数学成绩的评价等也应体现数学人文精神。
5 结束语
笔者在近几年的数学教学中，主动挖掘教材中的人文教育功能，注重培育数学人文精神，取得了一定的成效，学生普遍更加热爱数学，02年参加中考，数学平均分达94.6分（杭州市为92.3分）。已升入重高、职高的学生学习优良，各方面具有较高的素养。
数学教育的任务，不仅是知识的传授和能力的培养，而且也是文化的熏陶素质的培养。把科学的人文精神教育、构建健康的人格渗透于数学教学是时代的需要，也是初中数学教学的一项重要任务，笔者愿与大家更深入地探索数学人文精神的培育途径与实践策略，使学生在学习数学知识，形成数学能力的同时，养成必要的观念，以适应当今的信息社会的需要。数学教师在日常教学中，多途径地培育数学人文精神，为学生可持续发展起到必要的奠基作用。