Question

一道圆周运动题

如下图所示，ABC为一细圆管构成的 园轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C，细圆管内壁光滑。在A点正上方某位置处有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动。已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力。
（1）若小球刚好能到达轨道的最高点C，求小球经过
最低点B时的速度大小和轨道对小球的支持力大小；
（2）若小球从C点水平飞出后恰好能落到A点，求小球
刚开始下落时离A点的高度为多大。

Answer 1

（1）因为恰能到C点，所以在C点时，速度为0，重力势能为2mgR
总的机械能为 2mgR
在B点时，机械能守恒，有
1/2mv²=mg2R
v²=4gR
v=2根号(gR)
轨道对小球的支持力 N=mg+mv²/R=5mg
(2)小球从C点水平飞出后恰好能落到A点,时间为t
有1/2gt²=R
t=根号(2R/g)
水平位移为R，设C点的速度为v，所以有
vt=R
v根号(2R/g)=R
v=根号(gR/2)
在C点时，相对于圆心O，小球的机械能为
1/2mv²+mgR=1/2mgR/2+mgR=1.25mgR
小球刚开始下落时离A点的高度为 H=1.25mgR/mg=1.25R