Question

已知函数f(x)=x^2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值是4 求a的值

Answer 1

f(x)=x^2+2ax+1=(x+a)²+1-a²
画图，根据图可知f(x)取最大值时，x必然是等于-1或2。
(1)将x=-1代入f(x)==> f(-1)=2-2a=4 ==>a=-1
(2)将x=2代入f(x)==>f(2)=5+4a=4 ==> a=-1/4
最后结果：a=-1或a=-1/4

追问

你不觉得欠周密吗

追答

不用考虑其他情形，因为对于这种开口向上的抛物线在一定的区间内的时候，最大值必然是在两个端点上

Answer 2

-a=<1/2，即a>=-1/2时 f(2)=4a+5=4 a=-1/4

-a>1/2,即a<-1/2时， f(-1)=2-2a=4 a=-1

这道题最传统的思路是分为三类

当对称轴在给定区间左边，中间，和右边这三类 然后分别讨论最值

当然经验多了可以这样做

Answer 3

还是老老实实分类讨论吧。要看对称轴在区间[-1,2]左中右的不同情况来分析。]也可以简化一下和[-1,2]的中间线x=1/2来比。
对称轴为x=-a，当-a＜1/2时（a＞-1/2）最大值应该在x=2，f(2)=5+4a=4 ==> a=-1/4

当-a＞-1/2时（a＜-1/2）最大值应该在x=-1，f(x)==> f(-1)=2-2a=4 ==>a=-1

当-a=1/2时（a=-1/2）f（1）=f（2）=3≠4舍去。所以 a=-1/4或者a=-1非填空题照采纳答案做非得算错。但他显然已经看透二次函数。

Answer 4

f'(x)=2x+2a
令f'=0
则x=-a
为对称轴
当-a大于2时
最大值为f(-1)=2-2a=4
a=-1
矛盾
舍去
当-a小于-1时
最大值为f(2)=5+4a=4
a=-1/4
矛盾
当-a在两者之间时
要看-a离谁远
水远
谁大
就是说当-a小于1/2时
f(2)大
满足
a=-1/4
当-a大于1/2时
f(-1)大
也满足