Question

设函数f(x)+|x-a|-ax,其中a>0, （1）解不等式f(x)<0 （2）当0<a《1时，求f（x）的最小值

Answer 1

函数f(x)=|x-a|-ax
解：（1）当x≥a时，（x-a）-ax<0 即（1-a）x<a
①当0<a<1时，a≤x<a/（1-a）
②当a=1时，x≥a
③当a>1时，x>a/（1-a）
当x<a时，（a-x）-ax<0 即（1+a）x>a
从而x>a/（1+a）,故a/（1+a）<x<a
综上所述，①当0<a<1时，a/（1+a）<x<a/（1-a）
②当a=1时，x>a/（1+a）
③当a>1时，x>a/（1-a）
（2）当x≥a时，f(x)=（x-a）-ax =（1-a）x-a
因为0<a<1,所以斜率1-a>0,f(x)在[a，＋∞]单调增，在x=a处取到最小值-a2
当x<a时，f(x)=（a-x）-ax=a-（1+a）x
斜率-（1+a）<0,f(x)在[－∞，a）单调减，f(x)>f(a)=-a2
综上所述，当0<a<1时，求f（x）的最小值为-a2.