Question

已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+...+nan=（n+1）/2a（n+1）（n∈正整数）

（1）求数列{an}的通项公式an
（2）求数列{n²an}的前n项和Tn
（3）若存在n∈正整数，使得an≤（n+1）x，求实数x的最小值

Answer 1

解：（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan=n+1 2 an+1(n∈N*)
所以a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=n 2 an（n≥2）------------（1分）
两式相减得nan=n+1 2 an+1-n 2 an
所以(n+1)an+1 nan =3（n≥2）------------（2分）
因此数列{nan}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以nan=2•3n-2（n≥2）----（3分）
故an= 1，n=1 2 n •3n-2，n≥2 ------------（4分）
（2）由（1）可知当n≥2n2an=2n•3n-2
当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，------------（5分）
∴3Tn=3+4•31+…+2（n-1）•3n-2+2n•3n-1，------------（6分）
两式相减得Tn=1 2 +(n-1 2 )•3n-1（n≥2）------------（7分）
又∵T1=a1=1也满足上式，------------（8分）
所以Tn=1 2 =(n-1 2 )3n-1(n∈N*)------------（9分）

Answer 2

(1) Sn = n+1/2 an+1 ——①
Sn-1 = n/2 an ——②
①－②
an = n+1/2 an+1 － n/2 an
n+2/2 an = n+1/2 an+1
an+1 / an = n+2 / n+1
用累乘法：
a2 / a1 = 3/2
a3 / a2 = 4/3
a4 / a3 = 5/4
︰
an / an-1 = n+1 / n
∴ an / a1 = 3/2 × 4/3 × 5/4 × … × n+1 / n = n+1 /2
∵ a1 = 1
∴ an = n+1 /2
(2) Tn = 1² × (1+1)/2 + 2² × (2+1)/2 + 3² × (3+1)/2 + … + n² × (n+1)/2
= 1/2 ( 1² + 2² + 3² + 4² + … + n² ) + 1/2 ( 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + n³ )
= 1/2 × [ n(n+1)(2n+1) ]/6 + 1/2 × [ n²(n+1)² ]/4
= [ n(n+1)(n+2)(3n+1) ]/24

Answer 3

第三问怎么做？

Answer 4

先求nan的通项公式,再求an