Question

侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运动，它的运动轨道距地面高度为h ，要使卫星在一天的时间内将地面

侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运动，它的运动轨道距地面高度为h ，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄象机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球的半径R ，地面处的重力加速度为g ，地球自转的周期为T 。

Answer 1

首先算出卫星绕地球一周的周期T2。这个知道h,g,R，我相信你是算的出的吧。
然后卫星的运动是不受地球自转影响的。所以我们可以把这个问题简化成在一张世界地图上不断从上到下画线，同时世界地图在动。问一天时间内在日照范围内要把赤道画满，线要多宽。
那我们设卫星第一次过赤道的时刻为0，以这个点为坐标0点。那么在t=(T2/2)*n (n=1,2,3……）的时刻，卫星经过赤道。则每次卫星经过赤道的坐标为x=(-2*pi/T)*t ,因为地球是从西往东，也就是坐标轴上自左向右。-2*pi/T就是地球移动速度，也就是世界地图的移动速度。
那么这个时候当地是白天吗？
我们假设t=0的时候日照区域为[-B,-B+pi]。这里认为世界地图的长度是2*pi.那么日照区域在t=t的时刻，就是在[-B+x,-B+x+pi].
其实你可以这么理解，卫星是画线的笔的话，太阳是个手电筒。笔一直是竖直画的，手电是不动的。只有世界地图被拉动。所以只要第一次过赤道时是处于日照条件，以后过赤道时肯定也是在日照条件。
我们假设每次拍摄2w的弧度。那么每次拍摄区域为[x-w,x+w]。要另w尽可能短，那么就希望每次拍摄没有重叠，对吧。
那么就要另x1-w=x2+w，把上面的式子带入，带上n。则可得2w=(pi*T2/T)*(n1-n2)。n1-n2最小就是1嘛。似乎答案呼之欲出。但是，你也许会有疑虑，拍摄区域似乎可以更小。不需要每次都把相邻两次过赤道之间的区域都拍上。而是等下次经过的时候补上。但是想想我们的模型，等你下次经过这个地方。地球已经自转一周了，也就是1天过去了。
综上所述，最小弧长为pi*T2/T