Question

老师在黑板上写出三个算式：5^2－3^2=8×2，9^2—7^2=8×4，15^2—3^2=8×27

王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11^2—5^2=8×12，15^2—7^2=8×22……
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性。

Answer 1

(1)7^2-5^2=8X3
9^2-3^2=8X9

(2)奇数的平方的差是8的倍数

（3）设任意的两个奇数分别为2K＋1和2H＋1
那么（2K＋1）＾2—（2H＋1）＾2＝4K＾2＋4K＋1—4H＾2—4H—1
＝4K（K＋1）—4H（H＋1）
因为K和K＋1是相邻的两个数，所以其中一个肯定是偶数
同理H和H＋1其中一个肯定是偶数
所以4K（K＋1）和4K（K＋1）是8的倍数
所以（2K＋1）＾2—（2H＋1）＾2是8的倍数

Answer 2

（1）9^2—3^2=8×9，11^2—3^2=8×14
（2）任意两个奇数的平方差都能写成8的倍数。
（3）设任意两个奇数分别为2n+1,2k+1,则（2n+1）^2—（2k+1）^2=（2n+2k+2）（2n—2k）=4（n+k+1）（n—k），又因为（n+k+1）和（n—k）中必有一个为偶数，所以上式的右边就一定可以写成8的倍数！

Answer 3

（1）19^2-17^2=8×9
13^2-5^2=8×18
（2）任意两个奇数的平方差是8的倍数（结果是正负数皆可套用）
（3）设一个奇数为（2n+3），另一个奇数为（2n+1）根据（2），则有：
（2n+3)^2-(2n+1)^2
= (2n+3+2n+1) × (2n+3-2n-1)
= (4n+4) × 2
= 4(n+1) ×2
= 8(n+1)
∴任意两个奇数的平方差是8的倍数

Answer 4

（1）9^2-3^2=8*9 10^2-6^2=8*8
(2)二乘任意一个实数再加任意一个实数与再减这个是数的平方差等于8乘这两个实数的积。
（3） （2n+m)^2-(2n+m)^2
=(2n+m+2n-m)(2n+m-2n+m)
=(4n)(2m)
=8mn

Answer 5

5^2－3^2=8×2，9^2—7^2=8×4，15^2—3^2=8×27