Question

在数列an 和bn 中a1=2,且对任意正整数n 等式3an+1-an=0成立若bn是an 与an+1的等差中项，则bn的前n项和是？

Answer 1

a(n+1)/an=1/3
an=2*(1/3)^(n-1)
bn=[an+a(n+1)]/2=[2*(1/3)^(n-1)+2*(1/3)^n]/2
bn=(1/3)^(n-1)+(1/3)^n=3*(1/3)^n+(1/3)^n=4*(1/3)^n
故bn前n项和=4[(1/3)+(1/3)^2+……+(1/3)^n]
=4[(1/3)-(1/3)^(n+1)]/(1-1/3)
=2-6*(1/3)^(n+1)

Answer 2

等式3an+1-an=0成立若bn是an 与an+1的等差中项
推出 an和bn都是公比q为1/3的等比数列，且bn=an*（1/3），因为a1=2，所以b1=2/3。
等比数列求前n项和的公式——
Sn=b1*(1-q^n)/(1-q)
=2/3*（1-1/3^n）/(1-1/3)
=1-1/3^n

Answer 3

由3an+1-an=0得:an+1/an=1/3，是首项为2，公比为1/3的等比数列。
即an=2（1/3）^(n-1)
bn是an与an+1的等差中项，有2bn=an+an+1=2（1/3）^(n-1) +2（1/3）^n=8/3(1/3)^(n-1)
即bn=4/3(1/3)^(n-1) 首项为4/3 ，公比为1/3
前n项和sn=b1（1-q^n)/(1-q)=2[1-(1/3)^n]