Question

在ΔABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F

在ΔABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。（1）探究线段OE与OF的数量关系，并加以证明；（2）.当点O在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？诺能，请证明，诺不能，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

Answer 1

（1）将BC延长到G，因为MN//BC，所以EF//BC，所以∠ECB=∠CEF,∠EFC=∠FCG…{1式}又因为EC,FC分别为∠ACB和∠ACG的平分线，所以∠ECB=∠ECA,∠ACF=∠FCG,结合1式可得∠CEF=∠ECA,∠ACF=∠EFC,可得OE=OC,OC=OF,所以OE=OF.
(2）不能，若BCEF是菱形，则BC=CF=EF,取BC中点H，连结OH，由O是EF中点得OF=HC,由（1）得OC=OF=OE,可得HC=OC=OF,在三角形OCF中，OC=OF=1/2BC=1/2CF,显然不符合三角形两边之和大于第三边的规则，得证。
（3） 当△ABC为直角三角形，且∠ACB=90度时取O点为AC中点，可得到AECF为正方形
当O点为AC中点时，可得OC=OA=1/2AC，由（1）知OC=1/2EF,所以AC=EF,也可得三角形OAE全等于三角形OCF,三角形OEC全等于三角形OAF,所以AE//CF,AF//EC,即四边形AECF为平行四边形，又CE、CF分别为∠ACB和∠ACG的角平分线，所以∠ECF=90度，因此，平行四边形AECF为矩形。又∠ACB=90度，所以∠ECB=∠ECA=∠CEF=45度，∠ACF=∠FCG=∠EFC=45度,所以EC=FC,所以四边形AECF为正方形。

Answer 2

1. OE=OF
理由如下：∵OE是∠ACB的平分线
∴∠ACE=∠ECB
又∵MN//BC
∴∠OEC=∠ECB
∴∠ACE=∠OEC
∴OE=OC
同理可证得OF=OC
∴OE=OF
2.当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形
3.当点O运动到AC的中点，且△ABC的∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形
理由如下：∵OE=OF O是AC的中点
∴OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形
又∵CF,CE是一对邻角的角平分线
∴∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形
又∵∠ACB=90° MN//BC
∴∠AOM=90°
∴四边形AECF是正方形