Question

高中数学题

已知圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0，直线l：x+y-9=0，过直线l上一点A作△ABC，使∠BAC=45°，边AB过圆心M,且B,C在圆M上。（1）当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；（2）求点A的横坐标的取值范围。
求解题过程，谢谢！

Answer 1

已知圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，直线L：x+y-9=0，过直线L上一点A作△ABC，使∠BAC=45°，边AB过圆心M,且B,C在圆M上。（1）当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；（2）求点A的横坐标的取值范围。
解：(1)园M：x²+y²-4x-4y-1/2=0，（x-2)²+(y-2)²=17/2
故圆心M(2，2)；半径R=√(17/2)
点A(4，5），AB过M，故KAB=(5-2)/(4-2)=3/2，∠ABC=45°，故有：
❶tan∠BAC=1=(3/2-KAC)/(1+3KAC/2)=(3-2KAC)/(2+3KAC)，故KAC=1/5
∴AC所在直线的方程为y=(1/5)(x-4)+5=x/5+21/5，即x-5y+21=0为所求。
❷ KAC=-5，此时AC的方程为：y=-5(x-4)+5=-5x+25，即5x+y-25=0亦为所求。
(2)本题的要求是：①点A在直线L上，因此可设A点的坐标为(a，9-a)；②∠BAC=45°；
③B，C必须在园M上。因此A点的极限位置由AB是园的切线，且△ABM是等腰直角三角形所
规定，此时AB=MB=R=√(17/2)，AM²=(a-2)²+(7-a)²=[R/cos45°]²={[√(17/2)]/(√2/2)]}²=17
即有2a²-18a+53=17，2a²-18a+35=0，故a=(18±√44)/4=(9±√11)/2
∴A点横坐标a的取值范围为 (9-√11)/2≤a≤(9+√11)/2，【约2.84≤a≤6.16】

Answer 2

（1）当点A的横坐标为4，则A(4,5)
圆心M(2,2)
直线AB的斜率为kAB=3/2
由题意：∠BAC=45°
直线AB和AC的夹角为45度
所以kAC=（2/3+1）/（1-2/3*1）=-5或kAC=(2/3-1)/(1+2/3*1)=1/5
所以lAC：y=-5x+25或y=1/5x+21/5

（2）设A(a,9-a)
AM^2=(a-2)^2+(7-a)^2<=2r^2=17
3<=a<=6

Answer 3

太高深了吧