Question

一道线性代数习题

证明对任意的m>n，存在m个n维向量，使得任意n个向量线性无关。
是使其中任意n个都线性无关

Answer 1

可以举特例证明确实存在这么m个n维向量，
如，以范德蒙行列式来构造m个n维列向量，在n阶范德蒙行列式的基础上增加至m列，n行矩阵，那么任意选择n个列向量的话，都构成范德蒙行列式，这样任选的n个向量线性无关。
其实，在二维和三维袜此空间中具有直观的几何意义。二维空间中的几何意义是选择任意m条两两不平行的直线，三维空间是选择任意m条三三不共告汪迅面的直线。陵族

Answer 2

当m>n时，m个n维向量必线性相关，不可能无关

追问

是使任意n个向量都线性无关，不是全部m个

追答

把m>n的条件改成m>=n,这样的结果更强！

给你一个证明吧：
用归纳法：当m=n时，显然成立。
设 m=k(k>=n)时成立，
即a1,a2,a3,....,am中，任意n个都无关。
那么m=k+1时有，我们只需要找一个n维向量r，
使得在a1，...,am中任取n-1个向量与r组成的向量线性无关就行了。

下面用反证法说明这样的r必然存在。
如若不然，在n维向量空间中任意一r，都能在a1，...,am中任取n-1个向量与r组成的向量线性相关
这说明任意一r能被n-1个向量线性表示。
说明n维向量空间的维度为n-1，矛盾。

证毕

Answer 3

有两种方法可以证明，但是我不写出中世完整过程，lz看看能不能完成它
方法1：构造向量Pk={1^k, 2^k, ..., n^k}
则P1, P2,...,Pm满足你的要求

方法2：在n维空间内作单位圆O,圆外任意取一点P，连接圆心和P成腊庆直线PO，过圆心做垂直于PO的平面，交于单位圆。在交线上任意取m个点，这m个点和P的连线构成的向量满足条件卖局肢
看看你能证明哪个

Answer 4

我记得线代书上好像出现过，反正有一条定理，m个n维向量，当m>n时，这个向量组就是线性无关的