Question

已知函数f(x)=(1+lnx)/x-1(x>1) （1）判断函数f（x）在（1，+无穷）上的单调性，并证明你的结论

（2）若当x＞1时，f（x）＞k/x恒成立，求正整数k的最大值

Answer 1

（1）函数导数=((x-1)/x-(lnx+1))/(x-1)^2=-(1/x+lnx)/(x-1)^2
因为x>1,所以明显可得函数导数>0,函数是单调增加的。
（2）Y=xf(x)-k*(x-1)=xlnx+x-xk+k,
当x=1时，Y=1>0,对于x>1时，Y>=0恒成立，即Y的导数大于0即可，
所以Y导数=lnx+2-k>=0，当x=1时，k=2，为满足条件的最大值。