Question

问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探索∠DBC与∠ABC度数的比值。

问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探索∠DBC与∠ABC度数的比值。请你完成下列探索过程：选将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图。
观察图形，AB与AC的数量关系为————；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为————；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为————；
（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

Answer 1

解：（1）①当∠BAC=90°时，
∵∠BAC=2∠ACB，
∴∠ACB=45°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC（等角对等边）；
②当∠DAC=15°时，
∠DAB=90°-15°=75°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=75°，
∴∠DBA=180°-75°-75°=30°，
∴∠DBC=45°-30°=15°，即∠DBC=15°，
∴∠DBC的度数为15°；
③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC：∠ABC=1：3，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．

（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．

证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．
∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠KCA=∠BAC，
∴∠KCD=∠3，
∴△KCD≌△BAD，
∴∠2=∠4，KD=BD，
∴KD=BD=BA=KC．
∵BK∥AC，
∴∠ACB=∠6，
∵∠BAC=2∠ACB，且∠KCA=∠BAC，
∴∠KCB=∠ACB，
∴∠5=∠ACB，
∴∠5=∠6，
∴KC=KB，
∴KD=BD=KB，
∴∠KBD=60°，
∵∠ACB=∠6=60°-∠1，
∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，
∵∠1+（60°-∠1）+（120°-2∠1）+∠2=180°，
∴∠2=2∠1，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．

Answer 2

∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3
证明：如图，作BM∥AC，并使∠MCA=∠BAC
∵∠BAC≠90°
∴∠MCA+∠BAC≠180°
∴AB不平行于CM
又∵BM∥AC，且∠MCA=∠BAC
∴四边形MCAB是等腰梯形
∴AB=CM
∵AD=CD ∴∠DCA=∠DAC
又∵∠MCA=∠BAC
∴∠MCA－∠DCA=∠BAC－∠DAC
即 ∠MCD=∠BAD
∴△MCD≌△BAD（SAS）（条件就是上面的粗体字）
∴MD=BD
又∵BD=BA，BA=MC
∴MD=BD=BA=MC
∵∠MCA=∠BAC，∠BAC=2∠ACB
∴∠MCA=2∠ACB
∴∠MCB=∠ACB
∵BM∥AC
∴∠ACB=∠MBC
∴∠MCB=∠MBC
∴MC=MB
∴MB=MD=BD
∴△MDB为等边三角形
∴∠MBD=60°
∴∠BCA=∠MBC=∠MBD－∠CBD=60°－∠CBD
∵∠BAC=2∠ACB=2（60°－∠CBD）=120°－2∠CBD
∵在△ABC中，∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°
∴（60°－∠CBD）+（120°－2∠CBD）+（∠CBD+∠ABD）=180°
∴∠ABD=2∠CBD
∴∠DBC：∠ABC=∠DBC：（∠ABD+∠DBC）=∠DBC：3∠DBC=1：3

Answer 3

(1) AB=AC, 15°， 1：3

追问

第二小题呢？

Answer 4

（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；
观察图形，AB与AC的数量关系为
相等
；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为
15°
；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为
1：3
；

Answer 5

100