Question

如图，AD平分∠BAC,CD⊥AD于点D，图中的∠ACD与∠DCB、∠B之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这

如图，AD平分∠BAC,CD⊥AD于点D，图中的∠ACD与∠DCB、∠B之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这一规律，并说明理由。（需过程）
需要全等

Answer 1

∠ACD=∠DCB+∠B 延长CD线与AB线相交，焦点为E ；根据三角形定理：∠AED=∠DCB+∠B 又因为三角形ACE中AD垂直且平分CE；所以三角形ACE为等边三角形，即∠AED=∠ACD
所以∠ACD=∠DCB+∠B

Answer 2

当点D在三角形ABC内部时
∠ACD=∠DCB+∠B
延长CD交AB于E，容易证明三角形ACD全等于三角形AED
于是∠ACD=∠AED
而∠AED=∠B+∠DCB
所以∠ACD=∠DCB+∠B
当点D在三角形ABC外部时
∠ACD=∠B-∠DCB
证明方法类似

Answer 3

始终存在∠ACD=∠DCB+∠B
证明：延长CD交AB于E点
∵AD⊥CD 且AD平分∠BAC
∴△EAC为等腰△
∴∠AEC=∠ACE
∴∠AEC=∠DCB+∠B（△的外角等于不相邻的两个内角之和）
∴∠ACE=∠DCB+∠B
又∵D在CE上
∴∠ACD=∠DCB+∠B

Answer 4

解：三角形内角和180°，有∠B+∠DCB+∠ACD+∠BAC=180°
而∠DAC+∠ACD=90°（垂直关系）
∠BAC=2∠DAC(平分线关系)
故有∠B+∠DCB+∠ACD+2∠DAC=180°
∠B+∠DCB+∠ACD+2（90°-∠ACD）=180°
故有：∠B+∠DCB=∠ACD

Answer 5

∠ACD=∠DCB+∠B
CD⊥AD
∠D=90
∠B+∠BAD+∠DCB=∠ACD+∠CAD
AD平分∠BAC
所以∠ACD=∠DCB+∠B