Question

求解初二数学几何题

将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，0A=10,OC=8.如图在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点。在x轴上取两点M.N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M，点N的坐标。

等级不够没法插图片。- -图片也搜不到。各位对不起了- -

Answer 1

1.OA＝10，OC＝AB＝8，由对折可得，BE＝BC＝OA＝10，所以 AE＝根号[10^2-8^2]=6,点E坐标（4，0）.DE＝CD，OD＝8-CD＝8-DE，在三角形ODE中由勾股定理可得DE＝5，OD＝3.点D（0，3）

2由于BD.MN为定值，使四边形BDMN的周长最短即DE+BN最短，将BN向左平稳4.5个单位，B的对应点为B‘（5.5，8），问题转化为在X轴上求点M使DM+B‘M最短。如图2，由轴对称知识可求得，作D关于X轴对称点D‘，B‘D‘交X轴于M，易得坐标为（1.5，0），N（6，0）

Answer 2

先求出D的坐标
由题意△BCD≌△BED
∴BE=BC=OA=10
AB=CO=8
根据勾股定理可得AE=√(BE²-AB²)=6
∴OE=4
设OD=x，则DE=CD=8-x
根据勾股定理x²+4²=(8-x)²，解得x=3
∴D（0，3）
BD和MN长度固定，所以只需让MD+NB最小即可
做D关于x轴对称点P，过P做PQ‖MN，且使PQ=MN=4.5
则Q（4.5，-3）连接PM,QN，则MNQP为平行四边形
∴NQ=MP=MD
∴当B，N，Q三点共线时，MD+NB=NQ+NB=BQ为最小
即N为直线BQ与x轴交点B(10,8)
直线BD方程为(y+3)/(x-4.5)=(8+3)/(10-4.5)
化简得2x-y-12=0
令y=0，得x=6，即N（6,0），则M（1.5,0）

Answer 3

解：因为△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，
所以BE=BC=10，
在直角三角形ABE中，由勾股定理，得，
AE^2=BE^2-AB^2=10^2-8^2=36，
所以AE=6，
所以OE=4，
在直角三角形ODE中，设OD=x，则CD=8-x=DE,
由勾股定理，得，
DE^2=OD^2+OE^2，
即(8-x)^2=x^2+4^2,
解得，X=3，
所以CD=CO-OD=8-3=5，D(0,3)
在直角三角形BCD中，由勾股定理，得，
BD^2=BC^2-CD^2=10^2-5^2=75，
解得，BD=5√3，
在BC上截取BB1=MN=4.5,则B1(5.5,8)
作B1关于x轴的对称点B2，则B2(5.5，-8),
设过DB2的直线为y=kx+b,则，
b=3,
5.5k+b=-8,
解得，K=-2，
所以过DB2的直线为：y=-2x+3,
此直线交x轴于（3/2,0），
因为BD,MN长固定，由两点之间线段最短，
所以此时DM与BN的和最短，即周长最短，（3/2,0）就是点M,
所以N(6,0),
所以DM=(3/2)√5,BN=4√5，
所以四边形BDMN的周长=BD+DM+MN+BN
=5√3+(3/2)√5+4.5+4√5
=5√3+(11/2)√5+4.5

Answer 4

解答提示：画好图，设CD=x,则ED=x,DO=8－x,BE=10,BA=8,∴EA=6,∴OE=4，在直角△ODE中，4²＋（8－x）²=x²∴x=5,OD =3,在Y轴负半轴上作OF=OD，连接FB，交X轴于M点（由对称性得：即为E点），∴M点坐标为：（4,0），N点坐标为：（8.5,0）

Answer 5

设ED=x=DE,，则有三角形ABE的勾股定理知AE=6，则知道OE=4，对ODE用勾股定理(8-X)^2+4^2=X^2，得到ED=5，所以OD=3。接下来的任务就是求最小值的问题，设OM=a,则ON=a+4.5，所以周长c=BD+DM+MN+NB，因为BD,MN为定值，所以只找到DM+BN最小值。
将B点向左平移MN个单位得点G，因为MN为定长度，所以要找DM+BN的最小值，即找DM+MG最小值，则可找D关于x轴对称的点F，连FG即为M点，求得OM=1.5，所以ON=6