Question

微积分之定积分几何应用 一题（图），可以帮忙讲解一下吗

为什么要求X2=π-arcsiny？，v2-v1？

Answer 1

必须要求啊，因为绕y轴旋转，所以截面为圆形，公式是π r^2，r是横坐标x对应的值，注意积分变量为y，所以必须将x代换成含y的式子。其实直接背公式也可以，绕x轴做旋转，一般以x为积分变量，所以公式为（积分号，上下限，π y^2 dx），注意其中y代换成含x的式子；绕y轴做旋转，一般以y为积分变量，所以公式为（积分号，上下限，π x^2 dx），注意其中x代换成含y的式子

追问

这个记忆方法听广用的，Thanks a lot

Answer 2

题目解答过程说的不清楚。对于x2,指得是竖直的虚线右侧的曲线（即BA弧线和BC/OC/OA围成的曲面的面积，因为BA弧线每个点的x都大于pi/2，而arcsiny <pi/2，所以只有用pi-arcsiny才能算出它正确的x
v1等于OBC围成的图形，当然右侧的V2-左侧的v1等于你要求得

Answer 3

曲线弧BA的方程就是x∈[π/2,π]时y＝sinx的反函数。此时x＝arcsiny是不可能的。
因为y＝sinx＝sin(π-x)，而π-x∈[0,π/2]，所以π-x＝arcsiny，即x＝π-arcsiny

Answer 4

它的做法是拿两体积相减得到；其实也可理解成曲线AB上的X2的平方减掉曲线OB上的X1的平方，直接为OBA 的旋转体积。