Question

如图，抛物线y=x^2+2x-3与x轴的交于A,B两点，与y轴交于C点。

（1）B,C点的坐标

（2）设直线y=x+3与抛物线对称轴的交点是D，以D点为圆心，AD为半径的圆与直线BC有怎样的位置关系？并说明理由。

（3）在（2）的条件下，M是线段OC上的动点（M不与O、C重合），ME‖BD交x轴与E点，交抛物线对称轴于N点，连接CN、CE.设CM的长为m，设△CNE的面积为S，求S与m之间的函数关系式。试说明S是否存在最大值，并求出最大值，并求出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1、令y=0,则 x^2+2x-3=0,
(x+3)(x-1)=0,
x1=-3,x2=1,
B(-3,0),
令x=0,y=-3,
C(0,-3)，
2、由前所述，A（1，0），
y=(x+1)^2-4,
对称轴为x=-1,顶点坐标（-1，-4），
将x=-1,代入直线方程，y=2,
D点坐标（-1，2），
|DA|=√[(-1-1)^2+(2^2]=2√2,
圆半径R=2√2,
|BD|=2√2，
〈CBA=45度，
〈DBA=45度，
DB⊥BC，
故圆和直线BC相切。
3、NE//BD，设直线为y=x+b,
M(0,m-3),b=m-3, y=x+m-3,
N(-1,m-4),E（3-m,0),
|NE|=√[（m-2)^2+(m-4)^2]=√(2m^2-12m+20),
C至NE距离，|0+3+m-3|/√2
=√2m/2,
(不用距离公式，作CH⊥NE，垂足H，则三角形CHM是等腰直角三角形，
|CH|=√2m/2，
S△CNE=|NE|*|CH|/2=(1/2)（√2m/2）√[(m-2)^2+(2-m)^2]
=m*|(m-2)|/2,
当0<m<=2时，S=m(2-m)/2,
S=-(m-1)^2/2+1/2,
当m=1时有最大值，为1/2，
当2<=2m<3时，
S=m*(m-2)/2,
S'=m-1>0,
单调增函数，
m=3时应为最大，即经过原点，
S=3/2,
对于0<m<3,则S=1/2就不是最大值。
但，因0<m<3 ，M不与O、C重合，故没有最大值，也没有最小值，但有一定范围，
0<S<3/2。.

Answer 2

（1）x交点容易求得A（-3,0)B(1,0)Y轴交点为C(0，-3)
（2）对称轴为x=-1,则y=x+3与之交点为D（-1,2）AD=2根2，则圆的方程为（x+1)^2+(y-2)^2=8,
直线BC翻番成为： y=3x-3,则根据圆心到直线的距离可得为8/根号10《半径2根2，则直线与圆位置相交
（3）