Question

已知,如图,在三角形ABC中,AB等于AC,AE是角平分线,BM平分角ABC交AE于点M,经过B,M两点的圆交BC于点G,交AB于

F,FB恰为圆O的直径(1)求证:AE于圆O相切;(2)当BC等于4,cosC等于1/3时,求圆O的半径

Answer 1

证明：（1）
连接OM
则FM，FB是圆O的半径
∴∠FBM=∠FMB
又 BM平分角ABC
∴∠FBM=∠MBE ①
又AB等于AC,AE是角平分线
∴AE⊥BC
则 ∠MBE+∠BME=90度 ②
由①②得 ∠FMB++∠BME=90度
∴AE于圆O相切(经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)

解：（2）
∵AB等于AC,AE是角平分线
∴BE=EC=1/2BC=1/2*4=2
又 cosC=1/3
∵ ∠B=∠C
∴ cosB=cosC=1/3
从而 cosB/2=√1/2*(1+cosB)
=√1/2*(1+1/3)
=√6/3
又 cosB/2=cos∠MBE=BE/BM
∴ BM=BE/cosB/2
=2/(√6/3)
=√6
cosB/2=cos∠FBE=BM/BF
∴BF=BM/cosB/2
=√6/(√6/3)
=3
∴圆O的半径=1/2BF=1/2*3=1.5

Answer 2

1）连接OM
∵BM平分∠ABC
∴∠MBA=∠MBC
MO=NO
∴∠OMB=∠MBO=∠MBC
AB=AC，AE为∠BAC的角平分线，∴AE⊥BC
∴∠BME+∠MBC=90°
∴∠OMB+∠BME=90°
∴OM⊥AE
∴圆O与AE相切
2）AB=AC，AE平分∠BAC
∴AE平分BC，∠C=∠ABC
∴BE=1/2BC=2
cosC=cos2MBA=cos^2MBA-sin^2MBA=2cos^2MBA-1=1/3
∴cosMBA=cosMBC=√ 3/3=BE/MB=2/MB
∴MB=2√ 3
过O做OH⊥MB于H
BO=MO，∴BH=1/2MB=√ 3
cosMBA=BH/OB=√ 3/OB=√ 3/3
∴BO=√ 3

Answer 3

（1）证明：连接OM．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切；
（2）解：设圆的半径是r．
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=1 4 ，
∴AB=BE÷cosB=12，则OA=12-r．
∵OM∥BE，
∴OM BE =OA AB ，
即r 3 =12-r 12 ，
解得r=2.4．
则圆的直径是4.8．

Answer 4

（1）连接OM，证明△AMO相似△AEB，然后三线合一整出∠AEB=90°，就可以证明了
（2）用前面相似三角形的相似比就可