Question

曲面积分一道题的疑惑

对下进行曲面积分
∫∫∑z^2ds,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2

为什么我算出来会是0！？答案不是啊

我ds算出来是R/(R^2-x^2-y^2) dxdy 肯定对的
z^2=R^2-x^2-y^2
然后再用2次积分 消光=0了啊？但是答案不是0啊 我错在哪里啊

Answer 1

将z^2看成是球面的面密度函数，则∫∫∑z^2ds求出的是球面的质量，根据对称性
∫∫∑z^2ds应为上半球面积分的2倍，而不可能抵消！

或者直接算也不会抵消，上、下半球面的ds均为R/(R^2-x^2-y^2) dxdy ，设球面在xoy面上投影区域为D，则∫∫∑z^2ds=∫∫D(R^2-x^2-y^2)*R/(R^2-x^2-y^2)dxdy（上半球面积分）
+∫∫D(R^2-x^2-y^2) *R/(R^2-x^2-y^2) dxdy （下班球面积分）
=2∫∫D(R^2-x^2-y^2) *R/(R^2-x^2-y^2) dxdy

Answer 2

这个用球坐标变化计算，这样可以转化为一个二重积分。
至于你说的ds=R/(R^2-x^2-y^2) dxdy 我没看懂，不知道怎么算出来的。