Question

由世界未解三大几何题演变而来。求高人指点。

已知：等腰△AMB和等边△ANB,线段AB是两个三角形的共同边，∠AMB为110°。现取线段AN和线段BN的中点QP，连接QM两点和PM两点。

求：∠QMP？

Answer 1

设∠AMQ=∠BMP=x,因为∠BAM=∠ABM=（180-10）/2=85°，∠QAM=60+85=145°，∠NQM=∠QAM+∠AMQ，所以∠NQM=145+x，同理∠NPM=145+x，
因为四边形NQMP内角和等于360°，所以∠NQM+∠QMP+∠NPM+∠QNP=360°，∠QMP=∠AMB-∠AMQ-∠BMP=10-2x，所以（145+x）+（10-2x）+（145+x）+60=360，
算不出来。。。。，果然难

追问

是不是啊 有这么难吗 能不能证明∠AMQ=∠QMP。

Answer 2

用三角函数可计算出大约是35度多，不是整数。一般的方法应该求不出来。

Answer 3

Sketchup告诉我们是35.4....所以应该是道比较麻烦滴题目....表示我也是低人...... 再表示...可以用三角函数算不??囧..

Answer 4

设AB=x，∠MAB=35°,∠MAP=95°,AP=x/2，AM=(x/2)tan35°,
MP^2=AM^2+AP^2-2cos∠MAP*AM*AP（余弦定理）
PQ=x/2,cos∠PMQ=(2MP^2-PQ^2)/(2MP^2)（余弦定理）
计算过程如上，不知题目要求是小数表示的近似值还是用根号表示的准确值，所以你自己代进去算吧

追问

能不能证明∠AMQ=∠QMP ？如果∠AMB为90° 可否求出。 谢谢、

追答

我前面的PQ写反了，我以为P是AN的中点了。
∠AMQ=∠QMP 应该不成立吧，
∠AMB为90°因为有特殊角可以用另一种方法：
连接MN交AB于C，QP于O设MA=x，
则AB=√2，QP=√2/2,QO=√2/4,MC=√2/2,NC=√6/2,OC=√6/4
tan∠QMO=QO/MO=2-√3
tan∠QMP=(2-√3)/(√3-6)

Answer 5

我是低人