Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，其顶点为D，连接B

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点(不与B、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE.
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如果P点的坐标为(x,y)，△PBE的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上.
呵呵 你们回答得都很好 不过不用了 谢谢

Answer 1

（1）根据A，B，C三点的坐标，可以运用交点式法求得抛物线的解析式．再根据顶点的坐标公式求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据B，D的坐标运用待定系数法求得直线BD的解析式，再根据三角形的面积公式以及y与x之间的函数关系式得到s与x之间的函数关系式．点P的横坐标即x的值位于点D和点B的横坐标之间．根据二次函数的顶点式即可分析其最值；
（3）根据（2）中的坐标得点E和点C重合．过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．要求P′H和OH的长．P′H的长可以运用直角三角形P′CM的面积进行计算．设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E= 32．根据勾股定理列方程求解，得到直角三角形P′CM的三边后，再根据直角三角形的面积公式进行计算．要求OH的长，已知点C的坐标，只需根据勾股定理进一步求得CH的长即可．把求得的点P的坐标代入抛物线解析式即可判断点P′是否在该抛物线上．
解：（1）设y=a（x+1）（x-3），（1分）
把C（0，3）代入，得a=-1，（2分）
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．（4分）
顶点D的坐标为（1，4）．（5分）

（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，
得 {3k+b=0k+b=4，（6分）
解得k=-2，b=6．
∴直线AD解析式为y=-2x+6．（7分）
s= 12PE•OE= 12xy= 12x（-2x+6）=-x2+3x，（8分）
∴s=-x2+3x（1＜x＜3）（9分）
s=-（x2-3x+ 94）+ 94=-（x- 32）2+ 94．（10分）
∴当 x=32时，s取得最大值，最大值为 94．（11分）

（3）当s取得最大值， x=32，y=3，
∴ P(32，3)．（5分）
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E、P′F．
法一：过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．
设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E= 32．
在Rt△P′MC中，由勾股定理， (32)2+(3-m)2=m2．
解得m= 158．
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H= 910．
由△EHP′∽△EP′M，可得 EHEPʹ=EPʹEM，EH= 65．
∴OH=3- 65=95．
∴P′坐标 (-910，95)．（13分）
法二：连接PP′，交CF于点H，分别过点H、P′作PC的垂线，垂足为M、N．
易证△CMH∽△HMP．
∴ CMMH=MHPM=12．
设CM=k，则MH=2k，PM=4k．
∴PC=5k= 32，k= 310．
由三角形中位线定理，PN=8k= 125，P′N=4k= 65．
∴CN=PN-PC= 125- 32= 910，即x=- 910．
y=PF-P′N=3- 65=95
∴P′坐标（- 910， 95）．（13分）
把P′坐标（- 910，95）代入抛物线解析式，不成立，所以P′不在抛物线上．（14分）

追问

你真棒

追答

谢谢

Answer 2

aetaqeytit790yp (1）根据A，B，C三点的坐标，可以运用交点式法求得抛物线的解析式．再根据顶点的坐标公式求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据B，D的坐标运用待定系数法求得直线BD的解析式，再根据三角形的面积公式以及y与x之间的函数关系式得到s与x之间的函数关系式．点P的横坐标即x的值位于点D和点B的横坐标之间．根据二次函数的顶点式即可分析其最值；
（3）根据（2）中的坐标得点E和点C重合．过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．要求P′H和OH的长．P′H的长可以运用直角三角形P′CM的面积进行计算．设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E= 32．根据勾股定理列方程求解，得到直角三角形P′CM的三边后，再根据直角三角形的面积公式进行计算．要求OH的长，已知点C的坐标，只需根据勾股定理进一步求得CH的长即可．把求得的点P的坐标代入抛物线解析式即可判断点P′是否在该抛物线上．
解：（1）设y=a（x+1）（x-3），（1分）
把C（0，3）代入，得a=-1，（2分）
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．（4分）
顶点D的坐标为（1，4）．（5分）

（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，
得 {3k+b=0k+b=4，（6分）
解得k=-2，b=6．
∴直线AD解析式为y=-2x+6．（7分）
s= 12PE•OE= 12xy= 12x（-2x+6）=-x2+3x，（8分）
∴s=-x2+3x（1＜x＜3）（9分）
s=-（x2-3x+ 94）+ 94=-（x- 32）2+ 94．（10分）
∴当 x=32时，s取得最大值，最大值为 94．（11分）

（3）当s取得最大值， x=32，y=3，
∴ P(32，3)．（5分）
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E、P′F．
法一：过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．
设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E= 32．
在Rt△P′MC中，由勾股定理， (32)2+(3-m)2=m2．
解得m= 158．
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H= 910．
由△EHP′∽△EP′M，可得 EHEPʹ=EPʹEM，EH= 65．
∴OH=3- 65=95．
∴P′坐标 (-910，95)．（13分）
法二：连接PP′，交CF于点H，分别过点H、P′作PC的垂线，垂足为M、N．
易证△CMH∽△HMP．
∴ CMMH=MHPM=12．
设CM=k，则MH=2k，PM=4k．
∴PC=5k= 32，k= 310．
由三角形中位线定理，PN=8k= 125，P′N=4k= 65．
∴CN=PN-PC= 125- 32= 910，即x=- 910．
y=PF-P′N=3- 65=95
∴P′坐标（- 910， 95）．（13分）
把P′坐标（- 910，95）代入抛物线解析式，不成立，所以P′不在抛物线上