Question

初三数学综合题

已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD=16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB 、AD做垂线，垂足分别为E、F。
（1） 如图1，求证△PBE∽△PDF （我懂得 可以不答）
（2） 连接PC，当PE+PF+PC取最小值时：求PB的长
（3） 如图2.对角线BD、AC交与电O，以PO为半径的（PO＞0）的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求PB的长。

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听老师说第三步有点麻烦 拜托各位大虾了- -···

Answer 1

解答在图上：

Answer 2

2）连接AC交BD于O，则AC⊥BD，BO=BD/2=8，CO=√(CB²-BO²) = 6
设PB=x，PD=16-x，∠ABD=a，0<x<8, 则PE=xcosa，PF=(16-x)cosa， PC=√(8-x)²+6²
PE+PF+PC=16cosa+√(8-x)²+6²，当x=8时，该和最小
3) 两相切圆的切点在圆心连线上，即切点在线段DP上，又切点位圆与该连线的交点，⊙P与DP的交点为O，所以O为切点，O也在⊙D上，所以半径DF=DO=8
此时，DP=DF/cos∠ADB，cos∠ADB=DO/AD=4/5，DP=10，则BP=BD-DP=6

Answer 3

（2）此时P为BD中点，PB=8
反向延长FP交BC于点F’，易知PE=PF‘（可以通过证明三角形全等），所以PE+PF=菱形内部的一条高，即是一个定值，所以当PC取最小值时他们三的和取最小值，此时PC垂直BD，P为BD中点PB=16*O.5=8
（3）除非我做错了……要不不难吧……
如图知（自己易知）此时点P在BO侧，不妨设⊙P半径为x，⊙D半径为y，则有x+y=8（对角线长的一半嚒）
在△PDF中斜边为2x+y，一条直角边为y，由三角函数有y/(2x+y)=4/5
解得y=64/9
由对称性知y的大小就是PB的长~

Answer 4

2）连接AC交BD于O，则AC⊥BD，BO=BD/2=8，CO=√(CB²-BO²) = 6
设PB=x，PD=16-x，∠ABD=a，0<x<8, 则PE=xcosa，PF=(16-x)cosa， PC=√(8-x)²+6²
PE+PF+PC=16cosa+√(8-x)²+6²，当x=8时，该和最小
3) 两相切圆的切点在圆心连线上，即切点在线段DP上，又切点位圆与该连线的交点，⊙P与DP的交点为O，所以O为切点，O也在⊙D上，所以半径DF=DO=8
此时，DP=DF/cos∠ADB，cos∠ADB=DO/AD=4/5，DP=10，则BP=BD-DP=6
duide

Answer 5

(2)PE为△PAB边AB上的高，PF为△PAD 边AD上的高，而△PAB+△PAD=1/2△ABD，由于AB=AD
所以PE+PF为定值，这样很容易得出，当P为对角线交点的时候，PE+PF+PC取最小值，此时PB=1/2BD=8
(3)以PO为半径的（PO＞0）的⊙P与以DF为半径的⊙D，这不是说明⊙P、⊙D的圆心是P、D吗？如果这样，这道题目就很简单了。

Answer 6

(2)设BP为x，由三角形相似，可知PE=3x/5，PF=3(16-x)/5，由勾股定理，可知PC=根号(x-8)^2+36，所以题目并化为求函数y=3x/5+3(16-x)/5+根号(x-8)^2+36的最小值问题，化简y=根号（(x-8)^2+36）+48/5，当x=8时，y取最小值78/5
(3)设圆D与圆P的交点为点S，易证三角形DPF相似于三角形DAO，所以DP/DF=10/8=5/4，DP=16-x，DF=DS=DO-2PO=8-2(x-8)=24-2x,代入，求得x=12