Question

已知f（x）是定义在（0,＋∞）上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）＋f（y）,f（2）=1.

(1)求f（8）的值
（2）求不等式f（x）－f（x－2）＞2的解集

Answer 1

(1)
f(8)=f(2*4)
=f(2)+f(4)
=1+f(2*2)
=1+f(2)+f(2)
=3

(2)f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2
不等式可化为f(x)-f(x-2)>f(4)
即f(x)>f(x-2)+f(4)=f(4x-8)
又f(x)为单调增，所以
x>4x-8 解得x<8/3
注意到定义域为x>0 所以x-2>0 x>2
所以不等式的解集为2<x<8/3

Answer 2

f（8）=3 0<x<8/3

Answer 3

f(2)=1则f(4)=2于是f(8)=3 第2问 把f(x-2)移到右边在结合条件 又由x1知道f(4)=2所以f(x)>f(4x-8) 又因为这是个在0到正无穷单调递增的函数 所以x>4x-8 所以2<x<8/3