初中数学 相似三角形
、如图,在△ABC中,已知EF‖AC,D是BC上一点,连接AD,则△ABD与△BEF的面积相等。求证:BE2=BD•BC。...
、如图,在△ABC中,已知EF‖AC,D是BC上
一点,连接AD,则△ABD与△BEF的面积相等。
求证:BE2=BD•BC。 展开
一点,连接AD,则△ABD与△BEF的面积相等。
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9个回答
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由EF‖AC, 得BE/BC=BF/BA (1)
由△ABD与△BEF的面积相等,所以BA*BD=BE*BF
即BF/BA=BD/BE (2)
由(1)(2)得
BE/BC=BD/BE
即BE2=BD•BC
由△ABD与△BEF的面积相等,所以BA*BD=BE*BF
即BF/BA=BD/BE (2)
由(1)(2)得
BE/BC=BD/BE
即BE2=BD•BC
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证明 过A点做AH⊥BC交BC与H点
∵EF‖AC
∴EF2/AC2=BF2/AB2=△BEF/△ABC=△ABD/△ABC
又∵△BEF/△ABC=BE2/BC2
△ABD/△ABC=(1/2BD*AH)/(1/2BC*AH)=BD/BC
∴BE2/BC2=BD/BC
∴BE2=BD•BC
∵EF‖AC
∴EF2/AC2=BF2/AB2=△BEF/△ABC=△ABD/△ABC
又∵△BEF/△ABC=BE2/BC2
△ABD/△ABC=(1/2BD*AH)/(1/2BC*AH)=BD/BC
∴BE2/BC2=BD/BC
∴BE2=BD•BC
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用比值法。S△BEF/S△ABC=S△ABED/S△ABC
BE^2/BC^2=BD/BC
所以得证
BE^2/BC^2=BD/BC
所以得证
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∵EF‖AC
∴EF2/AC2=BF2/AB2=△BEF/△ABC=△ABD/△ABC
又∵△BEF/△ABC=BE2/BC2
△ABD/△ABC=(1/2BD*AH)/(1/2BC*AH)=BD/BC
∴BE2/BC2=BD/BC
∴BE^2=BD•BC
∴EF2/AC2=BF2/AB2=△BEF/△ABC=△ABD/△ABC
又∵△BEF/△ABC=BE2/BC2
△ABD/△ABC=(1/2BD*AH)/(1/2BC*AH)=BD/BC
∴BE2/BC2=BD/BC
∴BE^2=BD•BC
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设△ABD的高AH,△BEF的高FG,S△ABD=S△BEF
∴BD*AH=BE*FG 即FG/AH=BD/BE
∵EF‖AC
△BEF∽△BCA
FG/AH=BE/BC
由上∵FG/AH=BE/BC=BD/BE
∵BE^2=BD*BC得证
∴BD*AH=BE*FG 即FG/AH=BD/BE
∵EF‖AC
△BEF∽△BCA
FG/AH=BE/BC
由上∵FG/AH=BE/BC=BD/BE
∵BE^2=BD*BC得证
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