Question

函数定义与映射的关系

为什么讲函数的概念就一定要讲映射，这个之间有什么联系同时他们的区别在什么地方呢？ 怎么样让学生理解映射的概念呢？
谢谢大家指点。

Answer 1

函数与映射的关系与区别
相同点1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;
(2)函数与映射的对应都具有方向性;
(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性；
区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。
注意：有时函数和映射的对应法则可以用含有两个变量的等式来表示，在函数中这个式子叫解析式
映射是特殊的对应即由集合 ，集合 和对应法则f三者构成的一个整体，映射的特殊之处在于必须是多对一和一对一的对应；

映射的定义: 设X，Y 是两个非空集合,若对X 中的任意一个元素x ,按照一定的法则总有确定的 Y中元素y 与之对应，则称这个对应是集合X到Y 的一个映射。

若映射定义中的一般集合X，Y 为数集，我们称映射f 为函数，所以函数是一种特殊的映射，函数也可用如下定义。

函数的定义：设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，变量y按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称y是x函数。记作
y=f（x）

Answer 2

　　你提这个问题很好，这确实是值得探讨的问题，并且也是有历史过程的问题。简单的回答应是，这只是一个规定。
　　解放初期，我国的教材大多采用苏联版本或以苏联版本为蓝本，那时确实规定：对于每个x有确定的y与之对应，就叫函数。如果对于每个x，只有一个确定的y与之对应，就叫单值函数，如果对于每个x，有多个确定的y与之对应，就叫多值函数。后来由于去苏化、西化化日渐明显，也由于大多研究单值函数，慢慢地改成了现在的定义。可见现在的函数事实上就是原来的单值函数。
　　类似地还有递增函数，过去把对于任意的x1<x2, 都有f(x1)<f(x2)叫递增函数，把对于任意的x1<x2, 都有f(x1)<=f(x2)叫不减函数，现在把对于任意的x1<x2, 都有f(x1)<=f(x2)叫递增函数。可见现在是粗犷化了。
　　你的钻研精神很好，值得赞扬。但弄清这些历史也就是了，不必细究。因为这不影响大局，只是规定。