Question

解一道高中数学题目：

在△ABC中，sinAsinB=cosAcosB 是△ABC为直角三角形的什么条件？（要过程）

Answer 1

sinAsinB=cosAcosB ，
cosAcosB- sinAsinB=0 ，
cos(A+B)=0,
因为0<A+B<π，所以A+B=π/2，
∴C=π/2，三角形是直角三角形。

反之若已知三角形是直角三角形，若C是直角，以上过程可逆，则能得到sinAsinB=cosAcosB。
若A或B是直角，则sinAsinB≠cosAcosB 。

所以sinAsinB=cosAcosB 是△ABC为直角三角形的充分不必要条件。

Answer 2

由sinAsinB=cosAcosB 得：cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=0，所以：A+B=90度。（如果A+B=270度，就不能是三角形的内角了。A+B+C=180度。）
由△ABC为直角三角形不能得出sinAsinB=cosAcosB （如果A、B有一个是直角就不行了。）
所以：sinAsinB=cosAcosB 是△ABC为直角三角形的充分不必要条件。

Answer 3

sinAsinB=cosAcosB => cosAcosB-sinAsinB=0 =>cos(A+B)=0 => A+B=90度（因在三角形内）=〉C=90 <=>△ABC为直角三角形
充分必要条件