Question

一道高中数学题问题

若直线ax+2by-2=0(a、b＞0)始终平分圆x^2+y^2-4x-2y-8=0的周长，则1/a + 1/b的最小值为______ 老师讲的算法是（1/a + 1/b）*（a+b）就出来了答案是4，为啥乘以（a+b）？

麻烦讲解一下谢谢了

Answer 1

易知圆心（2，1）在直线上 ，得a+b=1

1/a + 1/b为啥乘以（a+b）呢？说简单点，就是“1的妙用”，把（1/a + 1/b）乘以（a+b），就是乘以1，结果不变哟。

Answer 2

直线ax+2by-2=0(a、b＞0)始终平分圆x^2+y^2-4x-2y-8=0的周长
就是过圆心
圆心是（2,1） 代入ax+2by-2=0
所以a+b=1

Answer 3

平分圆的周长是指经过圆心，把圆心代人直线，求到2a+2b=2
就是a+b=1了
所以下面乘以a+b就是乘以1了

Answer 4

始终平分其周长，说明直线过圆心，圆心坐标为(2,1),代入直线方程得a+b=1
要求1/a + 1/b的最值，一般乘以(a+b),而此处a+b=1，所以就随便乘……

Answer 5

圆心（2，1）在直线上 ，得a+b=1
在运用的柯西不等式 中的二维形式 公式(a²＋b²)(c² + d²)≥(ac+bd)² 所以[(√1/a)²＋(√1/b)²)]×[(√a)² + (√b)²]≥(√1/a√a+√1/b√b)² ≥（1+1）²=4 高中有讲 柯西不等式 在选修中有 是《不等式选讲》

Answer 6

因为（a+b）是定值，乘以（a+b）是为了构造积为定值的形式，为运用均值不等式创设条件。